2006-I-12

$\begin{array}{cl}=& {\displaystyle \frac{8-0}{12-(-4)}}\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

因為 $CM\perp AB$，則 $CM$ 的斜率

$\begin{array}{cl}=& -1÷AB\text{ 的斜率}\\ =& -1÷{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ =& -2\end{array}$

由此，$CM$ 的方程為

$\begin{array}{rcl}y-4& =& -2(x-4)\\ y-4& =& -2x+8\\ 2x+y-12& =& 0\end{array}$

把 $y=0$ 代入 $CM$ 的方程，可得

$\begin{array}{rcl}2x+(0)-12& =& 0\\ x& =& 6\end{array}$

所以，$C$ 的坐標為 $(6,0)$。

1. $BD$ 的方程為

   $\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{y-8}{x-12}}& =& {\displaystyle \frac{0-8}{2-12}}\\ {\displaystyle \frac{y-8}{x-12}}& =& {\displaystyle \frac{4}{5}}\\ 5y–40& =& 4x–48\\ 4x–5y-8& =& 0\end{array}$

2. $\{\begin{array}{ll}2x+y-12=0& \dots \text{①}\\ 4x-5y-8=0& \dots \text{②}\end{array}$

   $\text{②}-\text{①}\times 2$，可得

   $\begin{array}{rcl}-7y+16& =& 0\\ y& =& {\displaystyle \frac{16}{7}}\end{array}$

   把 $y={\displaystyle \frac{16}{7}}$ 代入 $\text{①}$，可得

   $\begin{array}{rcl}2x+{\displaystyle \frac{16}{7}}-12& =& 0\\ x& =& {\displaystyle \frac{34}{7}}\end{array}$

   所以，$K$ 的坐標為 $({\displaystyle \frac{34}{7}},{\displaystyle \frac{16}{7}})$。

   考慮 $\mathrm{\Delta }AMC$ 及 $\mathrm{\Delta }AKC$。若以 $AC$ 為 $\mathrm{\Delta }AMC$ 及 $\mathrm{\Delta }AKC$ 的底，則 $\mathrm{\Delta }AMC$ 及 $\mathrm{\Delta }AKC$ 分別為 $M$ 及 $K$ 的 $y$ 坐標。

   由此，$\mathrm{\Delta }AMC$ 的面積 $:\mathrm{\Delta }AKC$ 的面積

   $\begin{array}{cl}=& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times AC\times 4:{\displaystyle \frac{1}{2}}\times AC\times {\displaystyle \frac{16}{7}}\\ =& 7:4\end{array}$