2016-I-20

考慮 $\mathrm{\Delta }PRO$ 及 $\mathrm{\Delta }PRQ$。

由於 $I$ 為 $\mathrm{\Delta }OPQ$ 的內心，則 $PI$ 為 $\mathrm{\angle }OPQ$ 的角平分線。由此，可得

$\begin{array}{ll}\mathrm{\angle }RPO=\mathrm{\angle }RPQ& \text{(內心)}\end{array}$

由於 $J$ 為 $\mathrm{\Delta }OPQ$ 的外心，則 $PJ$ 為 $OQ$ 的垂直平分線。由此，可得

$\begin{array}{ll}\mathrm{\angle }PRO=\mathrm{\angle }PRQ={90}^{\circ }& \text{(外心)}\\ RO=RQ& \text{(外心)}\end{array}$

所以，$\mathrm{\Delta }PRO\cong \mathrm{\Delta }PRQ$ (A.A.S)。由此，可得

$\begin{array}{ll}OP=PQ& \text{(}\cong \mathrm{\Delta }\text{ 的對應邊)}\end{array}$

1. 參考下圖。
   

   設 $P=(a,19)$。利用 (a) 的結果，$OP=PQ$。由此，可得

   $\begin{array}{rcl}\sqrt{(a-0{)}^2+(19-0{)}^2}& =& \sqrt{(a-40{)}^2+(19-30{)}^2}\\ a^2+361& =& a^2-80a+1721\\ 80a& =& 1360\\ a& =& 17\end{array}$

   設 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 為 $C$ 的方程。由於 $C$ 通過 $O$、$P$ 及 $Q$，可得

   $\{\begin{array}{ll}(0{)}^2+(0{)}^2+D(0)+E(0)+F=0& \dots \text{①}\\ {17}^2+{19}^2+D(17)+E(19)+F=0& \dots \text{②}\\ {40}^2+{30}^2+D(40)+E(30)+F=0& \dots \text{③}\end{array}$

   從 $\text{①}$，可得 $F=0$。把 $\text{②}$ 及 $\text{③}$ 化簡後，可得

   $\{\begin{array}{ll}17D+19E+650=0& \dots \text{④}\\ 40D+30E+2500=0& \dots \text{⑤}\end{array}$

   $\text{④}\times 30–\text{⑤}\times 19$，可得

   $\begin{array}{rcl}-250D-28000& =& 0\\ D& =& -112\end{array}$

   把 $D=-112$ 代入 $\text{④}$，可得

   $\begin{array}{rcl}17(-112)+19E+650& =& 0\\ 19E& =& 1254\\ E& =& 66\end{array}$

   由此，$C$ 的方程為 $x^2+y^2-112x+66y=0$。

2. 參考下圖 。
   

   設 $y={\displaystyle \frac{3}{4}}x+c$ 為 $C$ 的切線，其中斜率為 ${\displaystyle \frac{3}{4}}$。把 $y={\displaystyle \frac{3}{4}}x+c$ 代入 $C$ 的方程，可得

   $\begin{array}{rcl}{x}^2+({\displaystyle \frac{3}{4}}x+c{)}^2-112x+66({\displaystyle \frac{3}{4}}x+c)& =& 0\\ x^2+{\displaystyle \frac{9}{16}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3c}{2}}x+c^2-112x+{\displaystyle \frac{99}{2}}x+66c& =& 0\\ 16x^2+9x^2+24cx+16c^2–1792x+792x+1056c& =& 0\\ 25x^2+(24c-1000)x+(16c^2+1056c)& =& 0\end{array}$

   由於 $y={\displaystyle \frac{3}{4}}x+c$ 為 $C$ 的切線，可得

   $\begin{array}{rcl}\mathrm{\Delta }& =& 0\\ (24c-1000{)}^2–4(25)(16c^2+1056c)& =& 0\\ 576c^2–48000c+1000000–1600c^2–105600c& =& 0\\ 1024c^2+153600c–1000000& =& 0\\ 16c^2+2400c–15625& =& 0\\ (4c-25)(4c+625)& =& 0\end{array}$

   所以，$c={\displaystyle \frac{25}{4}}$ 或 $c={\displaystyle \frac{-625}{4}}$。

   所以，$L_1$ 及 $L_2$ 的方程分別為 $y={\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{25}{4}}$ 及 $y={\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{625}{4}}$。由此，$S$、$T$、$U$ 及 $V$ 的坐標分別為 $({\displaystyle \frac{-25}{3}},0)$、$(0,{\displaystyle \frac{25}{4}})$、$({\displaystyle \frac{625}{3}},0)$ 及 $(0,{\displaystyle \frac{-625}{4}})$。

   留意梯形 $STUV$ 的高為圓 $C$ 的直徑。則梯形 $STUV$ 的高

   $\begin{array}{cl}=& \sqrt{({\displaystyle \frac{112}{2}}{)}^2+({\displaystyle \frac{66}{2}}{)}^2–0}\\ =& 65\end{array}$

   所以，梯形 $STUV$ 的面積

   $\begin{array}{cl}=& {\displaystyle \frac{2\times 65}{2}}[\sqrt{({\displaystyle \frac{-25}{3}}-0{)}^2+(0-{\displaystyle \frac{25}{4}}{)}^2}+\sqrt{({\displaystyle \frac{625}{3}}–0{)}^2+(0-{\displaystyle \frac{-625}{4}}{)}^2}]\\ =& {\displaystyle \frac{105625}{6}}\\ >& 17000\end{array}$

   所以，該宣稱正確。