答案：C
$\left\{ \begin{array}{ll}
x-y=k & \ldots \unicode{x2460} \\
x^2 + y^2 +2x -4y -1=0 & \ldots \unicode{x2461}
\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{ll}
x-y=k & \ldots \unicode{x2460} \\
x^2 + y^2 +2x -4y -1=0 & \ldots \unicode{x2461}
\end{array} \right.$
從 $\unicode{x2460}$，可得
$\begin{array}{rcl}
x-y & = & k \\
y & = & x-k \ \ldots \unicode{x2462}
\end{array}$
把 $\unicode{x2462}$ 代入 $\unicode{x2461}$，可得
$\begin{array}{rcl}
x^2 +(x-k)^2 +2x -4(x-k)-1 & = & 0 \\
x^2 +x^2 -2kx +k^2 +2x -4x +4k -1 & = & 0 \\
2x^2 +(-2k -2)x + k^2 +4k -1 & = & 0 \ \ldots \unicode{x2463}
\end{array}$
設 $x_1$ 及 $x_2$ 分別為 $A$ 及 $B$ 的 $x$ 坐標。所以 $x_1$ 及 $x_2$ 為方程 $\unicode{x2463}$ 的兩根。
$AB$ 的中點的 $x$ 坐標
$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{x_1+x_2}{2} \\
= & \dfrac{1}{2} \times \left(- \dfrac{-2k-2}{2} \right) \\
= & \dfrac{1+k}{2}
\end{array}$
