2022-II-22

連結 $AE$。由於 $\mathrm{\angle }ABE={90}^{\circ }$ 及 $ABED$ 為圓內接四邊形，則 $AE$ 為通過 $A$、$B$、$E$ 及 $D$ 的圓的直徑 (半圓上的圓周角的逆定理)。在 $\mathrm{\Delta }ABE$ 中，

$\begin{array}{rcll}A{E}^2& =& A{B}^2+B{E}^2& \text{(畢氏定理)}\\ A{E}^2& =& {660}^2+{275}^2\\ AE& =& 715\text{ cm}\end{array}$

由於 $AE$ 為一直徑，則 $\mathrm{\angle }ADE={90}^{\circ }$ (半圓上的圓周角)。在 $\mathrm{\Delta }ADE$ 中，

$\begin{array}{rcll}D{E}^2& =& A{E}^2-A{D}^2& \text{(畢氏定理)}\\ D{E}^2& =& {715}^2-{572}^2\\ DE& =& 429\text{ cm}\end{array}$

在 $\mathrm{\Delta }ABC$ 及 $\mathrm{\Delta }EDC$，

$\begin{array}{rcll}\mathrm{\angle }ABC& =& \mathrm{\angle }EDC& \text{(圓內接四邊形的外角)}\\ \mathrm{\angle }ACB& =& \mathrm{\angle }ECD& \text{(公共角)}\end{array}$

$\therefore \mathrm{\Delta }ABC\sim \mathrm{\Delta }EDC$ (A.A.A.)。

由此，可得

$\begin{array}{rcllll}{\displaystyle \frac{AC}{EC}}& =& {\displaystyle \frac{AB}{ED}}& =& {\displaystyle \frac{BC}{DC}}& \text{(}\sim \mathrm{\Delta }\text{ 的對應邊)}\\ {\displaystyle \frac{AD+CD}{EC}}& =& {\displaystyle \frac{AB}{ED}}& =& {\displaystyle \frac{BE+CE}{CD}}\\ {\displaystyle \frac{572+CD}{EC}}& =& {\displaystyle \frac{660}{429}}& =& {\displaystyle \frac{275+CE}{CD}}\\ {\displaystyle \frac{572+CD}{EC}}& =& {\displaystyle \frac{20}{13}}& =& {\displaystyle \frac{275+CE}{CD}}\end{array}$

由此，可得

$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{572+CD}{EC}}={\displaystyle \frac{20}{13}}& \dots \text{①}\\ {\displaystyle \frac{20}{13}}={\displaystyle \frac{275+CE}{CD}}& \dots \text{②}\end{array}$

從 $\text{①}$，可得

$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{572+CD}{EC}}& =& {\displaystyle \frac{20}{13}}\\ EC& =& {\displaystyle \frac{13(572+CD)}{20}}\dots \text{③}\end{array}$

把 $\text{③}$ 代入 $\text{②}$，可得

$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{20}{13}}& =& {\displaystyle \frac{1}{CD}}(275+{\displaystyle \frac{13(572+CD)}{20}})\\ {\displaystyle \frac{20CD}{13}}& =& {\displaystyle \frac{5500+7436+13CD}{20}}\\ 400CD& =& 168168+169CD\\ 231CD& =& 168168\\ CD& =& 728\text{ cm}\end{array}$