2022-II-27

答案：C

設 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 為 $C$ 的方程。由於 $C$ 通過 $(0,0)$、$(10,-24)$ 及 $(17,-7)$，可得

$\left\{ \begin{array}{ll}
0^2+0^2+D(0)+E(0) +F =0 & \ldots \unicode{x2460} \\
10^2+(-24)^2 +D(10) +E(-24) +F = 0 & \ldots \unicode{x2461} \\
17^2 +(-7)^2 +D(17) +E(-7) +F =0 & \ldots \unicode{x2462}
\end{array}\right.$

從 $\unicode{x2460}$，可得 $F=0$。

從 $\unicode{x2461}$，可得

$\begin{array}{rcl}
100+576 +10D-24E & = & 0 \\
5D -12E+338 & = & 0 \ldots \unicode{x2463}
\end{array}$

從 $\unicode{x2462}$，可得

$\begin{array}{rcl}
289+49 +17D -7E & = & 0 \\
17D -7E+338 & = & 0 \ldots \unicode{x2464}
\end{array}$

$17 \times \unicode{x2463} -5\times \unicode{x2464}$，可得

$\begin{array}{rcl}
-169E +4056 & = & 0 \\
E & = & 24
\end{array}$

把 $E=24$ 代入 $\unicode{x2463}$，可得

$\begin{array}{rcl}
5D -12(24) +338 & = & 0 \\
D & = & -10
\end{array}$

所以，$C$ 的方程為 $x^2+y^2 -10x+24y=0$。

A 為不正確。留意 $C$ 的圓心的坐標及半徑分別為 $(5,-12)$ 及 $13$。

$\begin{array}{rcl}
PQ & = & \sqrt{(10-17)^2+(-24-(-7))^2} \\
PQ & = & \sqrt{338} \\
PQ & \neq & 26
\end{array}$

B 為不正確。$C$ 的面積

$\begin{array}{cl}
= & \pi (13)^2 \\
= & 169\pi
\end{array}$

C 為正確。把 $(16,-9)$ 代入 $C$ 的方程的左方，可得

$\begin{array}{cl}
& 16^2 +(-9)^2 -10(16) +24(-9) \\
= & -39 \\
< & 0 \end{array}$

$\therefore (16,-9)$ 在 $C$ 之內。

D 為不正確。把 $(5,-12)$ 代入 $5x+12y=0$ 的左方，可得

$\begin{array}{cl}
& 5(5) +12(-12) \\
= & -119 \\
\neq & 0
\end{array}$

$\therefore C$ 的圓心不在 $5x+12y=0$ 之上。