2023-I-19

$\begin{array}{rcl}
32 & = & \dfrac{a+50}{2} \\
64 & = & a +50 \\
a & = & 14
\end{array}$

另外，

$\begin{array}{rcl}
t & = & \dfrac{b+0}{2} \\
b & = & 2t
\end{array}$

所以，$R=(14,2t)$。

由於 $OP$ 為一水平線，則 $RH$ 為一鉛垂線。由此，$H$ 的 $x$ 坐標

$\begin{array}{cl}
= & $R$ \text{ 的 }x\text{坐標} \\
= & 14
\end{array}$

設 $H=(14,d)$。由於 $OH \perp PR$，可得

$\begin{array}{rcl}
m_{OH} \times m_{PR} & = & -1 \\
\dfrac{d-0}{14-0}\times \dfrac{2t-0}{14-50} & = & -1 \\
dt & = & 252 \\
d & = & \dfrac{252}{t}
\end{array}$

所以，$H$ 的坐標為 $\left(15, \dfrac{252}{t}\right)$。

由於 $OP$ 為一水平線，則 $OP$ 的垂直平分線為一鉛垂線。由此，$G$ 的 $x$ 坐標

$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{0+50}{2} \\
= & 25
\end{array}$

設 $G=(25,c)$。由於 $Q$ 為 $PR$ 的中點，則 $GQ$ 為 $PR$ 的垂直平分線。由此，可得

$\begin{array}{rcl}
m_{GQ} \times m_{PR} & = & -1 \\
\dfrac{c-t}{25-32} \times \dfrac{2t-0}{14-50} & = & -1 \\
t(c-t) & = & -126 \\
c & = & t-\dfrac{126}{t} \\
c & = & \dfrac{t^2-126}{t}
\end{array}$

所以，$G$ 的坐標為 $\left(25, \dfrac{t^2-126}{t} \right)$。

1. 由於 $\angle PQS = \angle POQ$，可得

   $\begin{array}{rcl}
   \tan \angle PQS & = & \tan \angle POQ \\
   \dfrac{PS}{QS} & = & \dfrac{QS}{SO} \\
   \dfrac{50-32}{t-0} & = & \dfrac{t-0}{32-0} \\
   t^2 & = & 576
   \end{array}$

   $\therefore t=24$ 或 $t=-24$ (捨去)。

2. 留意 $G$ 及 $Q$ 的坐標分別為 $\left(25, \dfrac{75}{4}\right)$ 及 $(32,24)$。

   $OG$ 的斜率

   $\begin{array}{cl}
   = & \dfrac{\frac{75}{4}-0}{25-0} \\
   = & \dfrac{3}{4}
   \end{array}$

   $OQ$ 的斜率

   $\begin{array}{cl}
   = & \dfrac{24-0}{32-0} \\
   = & \dfrac{3}{4}
   \end{array}$

   由於 $m_{OG} =m_{OQ}$ 及 $O$ 為公共點，所以 $O$、$G$ 及 $Q$ 共線。

3. 在圖中加入 $\angle OPR$ 的角平分線。設 $J$ 為 $I$ 在 $OP$ 的垂足。
   

   由於 $OQ\perp PQ$ 及 $IJ \perp OP$，所以 $QP$ 及 $JP$ 分別為 $\Delta OPR$ 內切圓於 $Q$ 及 $J$ 的切線。

   $\begin{array}{rcl}
   QP & = & \sqrt{(32-50)^2+(24-0)^2} \\
   QP & = & 30
   \end{array}$

   所以，$J$ 的坐標為 $(50-30, 0)$，即 $(20,0)$。

   由於 $IJ$ 為鉛垂線，則 $I$ 及 $J$ 的 $x$ 坐標相等。設 $I=(20,e)$。

   留意 $IJ$ 及 $IQ$ 為 $\Delta OPR$ 內切圓的半徑。

   $\begin{array}{rcl}
   IJ & = & IQ \\
   e & = & \sqrt{(32-20)^2+(24-e)^2} \\
   e^2 & = & 144 +576-48e+e^2 \\
   48e & = & 720 \\
   e & = & 15
   \end{array}$

   所以，$I$ 的坐標為 $(20,15)$。

   利用 (a) 及 (b)(i) 的結果，$H$ 的坐標 $\left(14,\dfrac{21}{2}\right)$。

   由於 $OQ$ 為 $PR$ 的垂直平分線，可得 $PQ=RQ$ 及 $OQ\perp PR$。

   $\begin{array}{cl}
   & \text{$\Delta GHR$ 的面積} : \text{$\Delta IPQ$ 的面積} \\
   = & \dfrac{1}{2}(GH)(RQ) : \dfrac{1}{2} (IQ)(PQ) \\
   = & GH : IQ \\
   = & \sqrt{(25-14)^2+\left(\dfrac{75}{4}-\dfrac{21}{2}\right)^2} : \sqrt{(32-20)^2+(24-15)^2} \\
   = & \dfrac{55}{4} : 15 \\
   = & 11 : 12
   \end{array}$