對於二次函數 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a$、$b$ 及 $c$ 為實數，以及 $a\neq 0$。
- $y=a(x-h)^2+k$ 的圖像
性質
- 若 $a>0$，則該圖像的開口向上。若 $a<0$，該圖像的開口向下。
- 該圖像的對稱軸的方程為 $x=h$。
- 頂點的坐標為 $(h,k)$。
- 對於 $a>0$，$y$ 的極小值為 $k$，而對應的 $x$ 的值為 $h$。對於 $a<0$，$y$ 的極大值為 $k$，而對應的 $x$ 的值為 $h$。
- 配方法
-
$\begin{array}{cl}
& x^2 + 8x + 12 \\
= & x^2 + 8x + \left(\dfrac{8}{2}\right)^2 – \left(\dfrac{8}{2}\right)^2 + 12 \\
= & (x^2 + 8x + 4^2) – 4^2 + 12
= & (x+4)^2 – 4
\end{array}$ -
$\begin{array}{cl}
& x^2 – 8x – 12 \\
= & x^2 – 8x + \left(\dfrac{8}{2}\right)^2 – \left(\dfrac{8}{2}\right)^2 – 12 \\
= & (x^2 – 8x + 4^2) – 4^2 – 12 \\
= & (x-4)^2 – 26
\end{array}$ -
$\begin{array}{cl}
& 2x^2 + 8x + 12 \\
= & 2(x^2 + 4x) + 12 \\
= & 2[x^2 + 4x + \left(\dfrac{4}{2}\right)^2 – \left(\dfrac{4}{2}\right)^2] + 12 \\
= & 2(x^2 + 4x + 2^2) – 2(2)^2 + 12 \\
= & 2(x+2)^2 – 4
\end{array}$ -
$\begin{array}{cl}
& \dfrac{1}{3}x^2 + 4x + 15 \\
= & \dfrac{1}{3}(x^2 + 12x) + 15 \\
= & \dfrac{1}{3}[x^2 + 12x + \left(\dfrac{12}{2}\right)^2 – \left(\dfrac{12}{2}\right)^2] + 15 \\
= & \dfrac{1}{3}(x^2 + 12x + 6^2) – 12 + 15 \\
= & \dfrac{1}{3}(x+6)^2 + 3
\end{array}$
-
- 頂點的坐標 $(h,k)$
\begin{equation*}
h=\frac{-b}{2a} \mbox{, } k=\frac{4ac-b^2}{4a}
\end{equation*}
<\ol>
