對於任何實數 $a$、$b$、$c$ 及 $d$。設 $z=a+bi$，其中 $i^2 =-1$。
- 複數的相等關係
若 $a+ib=c+id$，則 $a=c$ 及 $b=d$。
若 $(a+bi)(i^2-3i)=1$，求 $a$ 及 $b$ 的值，$\begin{array}{rcl}
(a+bi)(i^2-3i) & = & 1 \\
ai^2-3ai+bi^3-3bi^2 & = & 1 \\
a(-1)-3ai+b(-i)-3b(-1) & = & 1 \\
(-a+3b)+(-3a-b)i & = & 1
\end{array}$透過比較兩方的實部及虛部，可得
$\left\{ \begin{array}{ll}
-a+3b=1 & \ldots \unicode{x2460} \\
-3a-b=0 & \ldots \unicode{x2461}
\end{array}\right.$$\unicode{x2460}+3\times\unicode{x2461}$，可得
$\begin{array}{rcl}
-a-9a & = & 1 \\
-10a & = & 1 \\
a & = & \dfrac{-1}{10}
\end{array}$把 $a=\dfrac{-1}{10}$ 代入 $\unicode{x2461}$，可得
$\begin{array}{rcl}
-3\left(\dfrac{-1}{10}\right)-b & = & 0 \\
b & = & \dfrac{3}{10}
\end{array}$$\therefore a=\dfrac{-1}{10}$ 及 $b=\dfrac{3}{10}$。
- 複數中的零
若 $a+ib=0$，則 $a=b=0$。
- 純虛數
若 $z$ 為一純虛數，則 $a=0$ 及 $b\neq 0$。
設 $z=\dfrac{a-3i}{3+i}$，其中 $a$ 為一實數。若 $z$ 為一純虛數，求 $a$ 的值。$\begin{array}{cl}
& \dfrac{a-3i}{3+i} \\
= & \dfrac{a-3i}{3+i} \times \dfrac{3-i}{3-i} \\
= & \dfrac{3a-ai-9i+3i^2}{9-i^2} \\
= & \dfrac{3a+(-a-9)i+3(-1)}{9-(-1)} \\
= & \dfrac{(3a-3)+(-a-9)i}{10} \\
= & \dfrac{3a-3}{10}+\dfrac{-a-9}{10}i
\end{array}$由於 $z$ 為一純虛數，則可得
$\begin{array}{rcl}
\dfrac{3a-3}{10} & = & 0 \\
a & = & 1
\end{array}$ - 實數
若 $z$ 為一實數，則 $b=0$。
設 $z=\dfrac{a-3i}{3+i}$，其中 $a$ 為一實數。若 $z$ 為一實數，求 $a$ 的值。$\begin{array}{cl}
& \dfrac{a-3i}{3+i} \\
= & \dfrac{a-3i}{3+i} \times \dfrac{3-i}{3-i} \\
= & \dfrac{3a-ai-9i+3i^2}{9-i^2} \\
= & \dfrac{3a+(-a-9)i+3(-1)}{9-(-1)} \\
= & \dfrac{(3a-3)+(-a-9)i}{10} \\
= & \dfrac{3a-3}{10}+\dfrac{-a-9}{10}i
\end{array}$由於 $z$ 為一實數，則可得
$\begin{array}{rcl}
\dfrac{-a-9}{10} & = & 0 \\
a & = & -9
\end{array}$
