2. 複數的四則運算

對於 $i^2=-1$，及任何實數 $a$、$b$、$c$ 及 $d$。

1. 複數的加法

   $(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$

   化簡 $(4+5i)+(8-2i)$。

   $\begin{array}{cl}& (4+5i)+(8-2i)\\ =& (4+8)+i(5+(-2))\\ =& 12+3i\end{array}$

2. 複數的減法

   $(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)$

   化簡 $(3-2i)-(2+7i)$。

   $\begin{array}{cl}& (3-2i)-(2+7i)\\ =& (3-2)+i((-2)-7)\\ =& 1-9i\end{array}$

3. 複數的乘法

   $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(bc+ad)$

   化簡 $(5-2i)(3+9i)$。

   $\begin{array}{cl}& (5-2i)(3+9i)\\ =& (5)(3)+(5)(9i)+(-2i)(3)+(-2i)(9i)\\ =& 15+45i-6i-18i^2\\ =& 15+39i-18(-1)\\ =& 33+39i\end{array}$

4. 複數的除法

   ${\displaystyle \frac{a+ib}{c+id}}={\displaystyle \frac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}}$

   化簡 ${\displaystyle \frac{2-5i}{2+7i}}$。

   $\begin{array}{cl}& {\displaystyle \frac{2-5i}{2+7i}}\\ =& {\displaystyle \frac{2-5i}{2+7i}}\times {\displaystyle \frac{2-7i}{2-7i}}\\ =& {\displaystyle \frac{(2-5i)(2-7i)}{(2+7i)(2-7i)}}\\ =& {\displaystyle \frac{(2)(2)+(2)(-7i)+(-5i)(2)+(-5i)(-7i)}{2^2-(7i{)}^2}}\\ =& {\displaystyle \frac{4-14i-10i+35i^2}{4-49i^2}}\\ =& {\displaystyle \frac{4-24i+35(-1)}{4-49(-1)}}\\ =& {\displaystyle \frac{-31-24i}{53}}\\ =& {\displaystyle \frac{-31}{53}}-{\displaystyle \frac{24}{53}}i\end{array}$

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