2006-I-12

$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{8-0}{12-(-4)} \\
= & \dfrac{1}{2}
\end{array}$

因為 $CM \perp AB$，則 $CM$ 的斜率

$\begin{array}{cl}
= & -1 \div \text{$AB$ 的斜率} \\
= & -1 \div \dfrac{1}{2} \\
= & -2
\end{array}$

由此，$CM$ 的方程為

$\begin{array}{rcl}
y-4 & = & -2(x-4) \\
y-4 & = & -2x + 8 \\
2x + y -12 & = & 0
\end{array}$

把 $y=0$ 代入 $CM$ 的方程，可得

$\begin{array}{rcl}
2x +(0) -12 & = & 0 \\
x & = & 6
\end{array}$

所以，$C$ 的坐標為 $(6,0)$。

1. $BD$ 的方程為

   $\begin{array}{rcl}
   \dfrac{y-8}{x-12} & = & \dfrac{0-8}{2-12} \\
   \dfrac{y-8}{x-12} & = & \dfrac{4}{5} \\
   5y – 40 & = & 4x – 48 \\
   4x – 5y -8 & = & 0
   \end{array}$

2. $\left\{ \begin{array}{ll} 2x+y-12=0 & \ldots \unicode{x2460} \\
   4x-5y-8=0 & \ldots \unicode{x2461}
   \end{array} \right.$

   $\unicode{x2461}- \unicode{x2460} \times 2$，可得

   $\begin{array}{rcl}
   -7y +16 & = & 0 \\
   y & = & \dfrac{16}{7}
   \end{array}$

   把 $y=\dfrac{16}{7}$ 代入 $\unicode{x2460}$，可得

   $\begin{array}{rcl}
   2x + \dfrac{16}{7} -12 & = & 0 \\
   x & = & \dfrac{34}{7}
   \end{array}$

   所以，$K$ 的坐標為 $(\dfrac{34}{7}, \dfrac{16}{7})$。

   考慮 $\Delta AMC$ 及 $\Delta AKC$。若以 $AC$ 為 $\Delta AMC$ 及 $\Delta AKC$ 的底，則 $\Delta AMC$ 及 $\Delta AKC$ 分別為 $M$ 及 $K$ 的 $y$ 坐標。

   由此，$\Delta AMC$ 的面積 $: \Delta AKC$ 的面積

   $\begin{array}{cl}
   = & \dfrac{1}{2} \times AC \times 4 : \dfrac{1}{2} \times AC \times \dfrac{16}{7} \\
   = & 7 : 4
   \end{array}$