2006-I-17

$\begin{array}{rcl}
\cos \angle BAD & = & \dfrac{AB^2 + AC^2 -BC^2}{2(AB)(AC)} \\
& = & \dfrac{40^2 +90^2 – 60^2}{2 (40)(90)} \\
& = & \dfrac{61}{72}
\end{array}$

考慮 $\Delta ABD$，

$\begin{array}{rcl}
\cos \angle BAD & = & \dfrac{AD}{AB} \\
AD & = & 40 \times \dfrac{61}{72} \\
& = & \dfrac{305}{9} \text{ cm}
\end{array}$

1. 1. 在 $\Delta ACD$ 運用餘弦公式，可得

      $\begin{array}{rcl}
      AD^2 + AC^2 -2(AD)(AC) \cos \angle DAC & = & CD^2 \\
      AC^2 – 31.819~739~26 AC – 2000 & = & 0 \\
      \end{array}$

      所以，$AC=63.376~952~45 \text{ cm}$ 或 $AC=-31.55721319\text{ cm}$ (捨去)。

   2. 在 $\Delta ABC$ 運用希羅公式，可得

      $\begin{array}{rcl}
      s & = & \dfrac{1}{2} ( AB + AC + BC) \\
      & = & 81.688~472~23 \text{ cm}
      \end{array}$

      由此，$\Delta ABC$ 的面積

      $\begin{array}{cl}
      = & \sqrt{s(s-AB)(s-AC)(s-BC)} \\
      = & 1~162.961~054 \text{ cm}^2
      \end{array}$

   3. 以 $\Delta ACD$ 為底，四面體 $ABCD$ 的體積

      $\begin{array}{cl}
      = & \dfrac{1}{3} \times BD \times \text{$\Delta ACD$ 的面積} \\
      = & \dfrac{1}{3} \times BD \times \dfrac{1}{2} \times AD \times AC \times \sin \angle DAC \\
      = & 6~716.175~187 \text{ cm}^3
      \end{array}$

      設 $h\text{ cm}$ 為頂點 $D$ 至底 $\Delta ABC$ 的四面體 $ABCD$ 的高。以 $\Delta ABC$ 為底，四面體 $ABCD$ 的體積

      $\begin{array}{cl}
      = & \dfrac{1}{3} \times h \times \text{$\Delta ABC$ 的面積} \\
      = & 387.653~684~7 h \text{ cm}^3
      \end{array}$

      由此，可得

      $\begin{array}{rcl}
      387.653~684~7 h & = & 6~716.175~187 \\
      h & = & 17.325~193~73 \text{ cm}
      \end{array}$

      所以，所求的高為 $17.325~193~73\text{ cm}$。

2. 根據 (b)(i)(3) 的結果，四面體 $ABCD$ 的體積

   $\begin{array}{cl}
   = & \dfrac{(AD)(AC)(BD)\sin \angle DAC}{6}
   \end{array}$

   由於 $AD$、$AC$、$BD$ 及 $\dfrac{1}{6}$ 均為常數，則四面體 $ABCD$ 的體積隨 $\sin \angle DAC$ 正變。

   由此，可得到以下的結論：

   當 $\angle ADC$ 由 $30^\circ$ 增加至 $90^\circ$，$\sin \angle DAC$ 增加，且四面體 $ABCD$ 的體積也隨之增加。

   當 $\angle ADC$ 由 $90^\circ$ 增加至 $150^\circ$，$\sin \angle DAC$ 減少，且四面體 $ABCD$ 的體積也隨之減少。