2006-II-48

答案：D
留意 $\Delta ABO$ 的內切圓與 $x$ 軸及 $y$ 軸相切。所以其圓心與 $x$ 軸及 $y$ 軸的距離相等，即其半徑 $r$。由此，設 $C(r,r)$ 為 $\Delta ABO$ 的內切圓的圓心。留意 $D$、$E$ 及 $F$ 為內切圓及 $\Delta ABO$ 的切點。

由此，$OE=r$ 及 $OD=r$。

$\begin{array}{ll}
BF = BD & \text{(切線性質)}\\
BF = OB – OD & \\
BF = 6 – r
\end{array}$

相似地，$AF = 6-r$。

在 $\Delta OAB$ 中，

$\begin{array}{rcl}
AB^2 & = & OA^2 + OB^2 \\
AB & = & \sqrt{6^2 + 6^2} \\
AB & = & \sqrt{72}
\end{array}$

由此，可得

$\begin{array}{rcl}
AB & = & AF + BF \\
\sqrt{72} & = & (6-r) + (6-r) \\
72 & = & (12-2r)^2 \\
4r^2 -48r +72 & = & 0 \\
r^2 – 12r + 18 & = & 0 \\
\end{array}$

所以，可得

$\begin{array}{rcl}
r & = & \dfrac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 – 4(1)(18)}}{2(1)} \\
& = & 6 \pm 3\sqrt{2} \\
\end{array}$

由於 $r

由此，$\Delta ABO$ 的內心的坐標為 $(6-3\sqrt{2},6-3\sqrt{2})$。