2007-I-17

$\angle ABG = \angle DBG$。

在 $\Delta ABG$ 和 $\Delta DBG$ 中，

$\begin{array}{ll}
AB=BD & \text{(己知)} \\
BG=BG & \text{(公共邊)} \\
\angle ABG=\angle DBG & \text{(已證)}
\end{array}$

$\therefore \Delta ABG \cong \Delta DBG$。(S.A.S.)

$\angle BAE = \angle IAG$。

由於 $\Delta ABG \cong \Delta DBG$，

$\begin{array}{ll}
\angle BGA= \angle BGD & \text{($\cong\Delta$ 的對應角)} \\
\therefore \angle IGA=90^\circ &
\end{array}$

由於 $AC$ 為半圓 $ABC$ 的直徑，

$\begin{array}{ll}
\angle ABC = 90^\circ & \text{(半圓上的圓周角)}
\end{array}$

在 $\Delta AGI$ 和 $\Delta ABE$ 中，

$\begin{array}{ll}
\angle IAG=\angle EAB & \text{(已證)} \\
\angle IGA = \angle EBA = 90^\circ & \text{(已證)}
\end{array}$

$\begin{array}{rll}
\angle GAI & = 180^\circ – \angle IAG – \angle IGA & \text{($\Delta$ 的內角和)} \\
& = 180^\circ – \angle EAB – \angle EBA & \text{(已證)} \\
& = \angle BAE & \text{($\Delta$ 的內角和)}
\end{array}$

$\therefore \Delta AGI \sim \Delta ABE$。(A.A.A.)

由此，可得

$\begin{array}{rcll}
\dfrac{AB}{AG} & = & \dfrac{BE}{GI} & \text{($\sim\Delta$ 的對應邊)} \\
\dfrac{GI}{AG} & = & \dfrac{BE}{AB} &
\end{array}$

$\begin{array}{rcl}
G & = & \left( \dfrac{-25+ 11}{2}, 0 \right) \\
& = & (-7,0)
\end{array}$

$\begin{array}{rcl}
\dfrac{GI}{AG} & = & \dfrac{BE}{AB} \\
\dfrac{GI}{AG} & = & \dfrac{1}{2} \\
AG & = & 2GI \\
-7 – (-25) & = & 2y \\
y & = & 9
\end{array}$

$\therefore I=(-7,9)$。

留意 $AD$ 為 $\Delta ABD$ 的內切圓於 $G$ 的切線，且 $IG \perp AD$，則 $IG$ 為 $\Delta ABD$ 的內切圓的半徑。由此，$\Delta ABD$ 的內切圓的方程為

$\begin{array}{rcl}
(x-(-7))^2 + (y-9)^2 & = & (9-0)^2 \\
(x+7)^2 + (y-9)^2 & = & 9^2
\end{array}$