2009-I-16

1. 留意 $L_1$ 通過點 $(12,24)$ 及點 $(8,16)$。$L_1$ 的方程為

   $\begin{array}{rcl}
   \dfrac{y-24}{x-12} & = & \dfrac{16-24}{8-12} \\
   \dfrac{y-24}{x-12} & = & 2 \\
   y-24 & = & 2x – 24 \\
   2x – y & = & 0
   \end{array}$

   留意 $L_1$ 的斜率為 $2$。因為 $L_1 \perp L_2$，則 $L_2$ 的斜率

   $\begin{array}{cl}
   = & -1 \div 2 \\
   = & \dfrac{-1}{2}
   \end{array}$

   所以，$L_2$ 的方程為

   $\begin{array}{rcl}
   y -24 & = & \dfrac{-1}{2} (x – 12) \\
   2y – 48 & = & -x + 12 \\
   x + 2y – 60 & = & 0
   \end{array}$

2. 所以的不等式組為

   $\left\{ \begin{array}{l}
   x \ge 8 \\
   y \ge 10 \\
   2x-y \ge 0 \\
   x + 2y -60 \le 0
   \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 8 \\
y \ge 10 \\
y \le 2x \\
4x + 8y \le 240
\end{array} \right. $

把上面的不等式組化簡後，可得

$\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 8 \\
y \ge 10 \\
2x – y \ge 0 \\
x + 2y – 60 \le 0
\end{array} \right.$

留意包含所有合理解的區域為圖中的陰影部分。考慮 $L_2$ 與 $L_4$ 的交點。把 $y=10$ 代入 $x+2y – 60=0$ 中，可得

$\begin{array}{rcl}
x + 2(10) – 60 & = & 0 \\
x & = & 40
\end{array}$

所以，四個頂點的坐標為 $(12,24)$、$(8,16)$、$(8,10)$ 及 $(40,10)$。設 $\$P$ 為總盈利。則可得 $P(x,y)=4000x + 6000y$。

$\begin{array}{rcl}
P(12,24) & = & 4000(12) + 6000(24) \\
& = & 192~000 \\
P(8,16) & = & 4000(8) + 6000(16) \\
& = & 128~000 \\
P(8,10) & = & 4000(8) + 6000(10) \\
& = & 92~000 \\
P(40,10) & = & 4000(40) + 6000(10) \\
& = & 220~000
\end{array}$

所以，基於所有限制條件所得的最大盈利為 $\$220~000$。我不同意該宣稱。