2009-II-25

答案：D
由於 $AB:BC:AC=3:4:5$，則設 $AB=3k$、$BC=4k$ 及 $AC=5k$，其中 $k$ 為常數。考慮 $\mathrm{\Delta }ABC$，

$\begin{array}{rcl}A{B}^2+B{C}^2& =& (3k{)}^2+(4k{)}^2\\ & =& 9k^2+16k^2\\ & =& 25k^2\end{array}$

加上，

$\begin{array}{rcl}A{C}^2& =& (5k{)}^2\\ & =& 25k^2\\ & =& A{B}^2+B{C}^2\end{array}$

所以，根據畢氏定理的逆定理，$\mathrm{\Delta }ABC$ 為一直角三角形，其中 $\mathrm{\angle }ABC={90}^{\circ }$。由此，可得

$\begin{array}{rcl}\tan A:\cos C& =& {\displaystyle \frac{BC}{AB}}:{\displaystyle \frac{BC}{AC}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{AB}}:{\displaystyle \frac{1}{AC}}\\ & =& AC:AB\\ & =& 5:3\end{array}$