2010-I-17

因為 $\angle BAD=90^\circ$，則 $BD$ 為圓 $ABCD$ 的一直徑。由此，圓 $ABCD$ 的圓心

$\begin{array}{cl}
= & \left(\dfrac{-6+8}{2}, \dfrac{8+6}{2} \right) \\
= & (1,7)
\end{array}$

$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{1}{2} \sqrt{(-6-8)^2 +(8-6)^2} \\
= & \dfrac{1}{2} \sqrt{200} \\
= & \dfrac{1}{2} \times 10 \sqrt{2} \\
= & 5\sqrt{2}
\end{array}$

$\begin{array}{cl}
= & \sqrt{(8-0)^2 + (6-0)^2} \\
= & 10
\end{array}$

因為圓 $ABCD$ 及圓 $A_1B_1C_1D_1$ 相似，則可得

$\begin{array}{cl}
& \dfrac{A_1B_1C_1D_1\text{ 的面積}}{ABCD\text{ 的面積}} \\
= & \left( \dfrac{A_1B_1C_1D_1\text{ 的直徑}}{ABCD\text{ 的直徑}} \right)^2 \\
= & \left(\dfrac{10}{2\times5\sqrt{2}} \right)^2 \\
= & \dfrac{1}{2} \\
= & 1: 2
\end{array}$

$\begin{array}{cl}
= & 10^2 – \pi(5)^2 \\
= & 100-25\pi
\end{array}$

所以，正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 與圓 $A_2B_2C_2D_2$ 之間的面積

$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{1}{2} \times (100-25\pi) \\
= & \dfrac{100-25\pi}{2}
\end{array}$

由此，所有陰影部分的總面積

$\begin{array}{cl}
= & 100-25\pi + \dfrac{100-25\pi}{2} + \cdots + \dfrac{100-25\pi}{2^9} \\
= & (100-25\pi)(1+\dfrac{1}{2} + \cdots +\dfrac{1}{2^9}) \\
= & (100-25\pi) \times\dfrac{1[1-(\frac{1}{2})^{10}]}{1-\frac{1}{2}} \\
= & 42.878~452~9
\end{array}$

所以，陰影部分的總面積比圓 $ABCD$ 的面積

$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{42.878~452~9}{\pi (5\sqrt{2})^2 } \\
= & \dfrac{0.272~972~709}{1}
\end{array}$

所以，$p=0.272~972~709$，此數值介乎 $0.2$ 及 $0.3$ 之間。故此，班徽的設計精美。