2011-I-15

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{array}$

$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{(99+197)\times 99}{2} \\
= & 14~652
\end{array}$

$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{99}{2} [ 2(14~652) +(99-1)(99)] \\
= & 1~930~797
\end{array}$

$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{k}{2}[2k+(k-1)(1)] \\
= & \dfrac{k(3k-1)}{2}
\end{array}$

留意每一列的整數之和會形成一等差數列，並且其公差為 $k$。因為在第 $k$ 個表格中有 $k$ 列，所以在該等差數列中一共有 $k$ 項。由此，所有的整數之和

$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{k}{2}\left[ 2 \times \dfrac{k(3k-1)}{2} +(k-1)k\right] \\
= & \dfrac{k}{2} (4k^2 -2k) \\
= & k^2(2k-1)
\end{array}$

由於 $k$ 為一奇數，則 $k^2$ 及 $(2k-1)$ 均為奇數。而兩奇數之積也為奇數，所以 $k^2(2k-1)$ 也是一個奇數。所以並沒有一奇數 $k$ 使得第 $k$ 個表格內所有整數之和為一偶數。