2011-I-16

$PR$ 的中點

$\begin{array}{cl}
= & \left( \dfrac{16+64}{2}, \dfrac{80+(-48)}{2} \right) \\
= & (40,16)
\end{array}$

$PR$ 的斜率

$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{80 – (-48)}{16-64} \\
= & \dfrac{-8}{3}
\end{array}$

所以，該垂直平分線的斜率

$\begin{array}{cl}
= & -1 \div \dfrac{-8}{3} \\
= & \dfrac{3}{8}
\end{array}$

由此，$PR$ 的垂直平分線的方程

$\begin{array}{rcl}
y-16 & = & \dfrac{3}{8}(x-40) \\
8y – 128 & = & 3x – 120 \\
3x-8y + 8 & = & 0
\end{array}$

把 $x=16$ 代入 $3x-8y+8=0$，可得

$\begin{array}{rcl}
3(16) – 8y +8 & = & 0 \\
8y & = & 56 \\
y & = & 7
\end{array}$

所以，$\Delta PQR$ 的外心的坐標為 $(16,7)$。

1. 該圓的半徑

   $\begin{array}{cl}
   = & 80 – 7 \\
   = & 73
   \end{array}$

   所以，$C$ 的方程為 $(x-16)^2+(y-7)^2=73^2$。

2. 由於 $\Delta PQR$ 為一等腰三角形，其中 $PQ=PR$，則 $PS\perp QR$，即 $\angle PSQ=90^\circ$。設 $K$ 為 $C$ 的圓心。若 $K$ 也同時為內心，則 $KQ$ 為 $\angle PQS$ 角平分線。

   在 $\Delta PSQ$ 中，

   $\begin{array}{rcl}
   \tan \angle PQS & = & \dfrac{PS}{QS} \\
   & = & \dfrac{80-(-48)}{16 – (-32)} \\
   \angle PQS & = & 69.443~954~78^\circ
   \end{array}$

   在 $\Delta KSQ$ 中，

   $\begin{array}{rcl}
   \tan \angle KQS & = & \dfrac{KS}{QS} \\
   & = & \dfrac{7-(-48)}{16-(-32)} \\
   \angle KQS & = & 48.887~909~56^\circ
   \end{array}$

   由於 $\angle KQS \neq \dfrac{1}{2} \angle PQS$，則 $KQ$ 並不是 $\angle PQR$ 的角平分線。所以，$C$ 的圓心與 $\Delta PQR$ 的內心並非同一點。