2011SP-I-13

$L_2$ 的方程為

$\begin{array}{rcl}
y-9 & = & -\dfrac{3}{4}(x-4) \\
4y-36 & = & -3x+12 \\
3x+4y-48 & = & 0
\end{array}$

1. 因為 $\Gamma$ 為 $AB$ 的垂直平分線，所以 $\Gamma$ 與 $L_2$ 互相平行。
2. 留意 $\Gamma$ 的斜率為 $-\dfrac{3}{4}$。$\left\{ \begin{array}{ll}
   4x-3y+12=0 & \ldots \unicode{x2460} \\
   3x+4y-48=0 & \ldots \unicode{x2461}
   \end{array} \right. $

   $4\times \unicode{x2460} +3\times \unicode{x2461}$，可得

   $\begin{array}{rcl}
   25x-96 & = & 0 \\
   x & = & \dfrac{96}{25}
   \end{array}$

   把 $x=\dfrac{96}{25}$ 代入 $\unicode{x2461}$，可得

   $\begin{array}{rcl}
   3(\dfrac{96}{25}) +4y-48 & = & 0 \\
   y & = & \dfrac{228}{25}
   \end{array}$

   $\therefore A=(\dfrac{96}{25},\dfrac{228}{25})$。

   把 $x=0$ 代入 $L_1$ 的方程，可得 $y=4$。所以 $B=(0,4)$。

   $\therefore AB$ 的中點為

   $\begin{array}{cl}
   = & (\dfrac{0+\frac{96}{25}}{2}, \dfrac{4+\frac{228}{25}}{2}) \\
   = & (\dfrac{48}{25}, \dfrac{164}{25})
   \end{array}$

   $\therefore \Gamma$ 的方程為

   $\begin{array}{rcl}
   y-\dfrac{164}{25} & = & -\dfrac{3}{4} (x-\dfrac{48}{25}) \\
   100y-656 & = & -75x+144\\
   3x+4y-32 & = & 0
   \end{array}$