2011SP-I-18

$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{20}{\sin {30}^{\circ }}}& =& {\displaystyle \frac{BC}{\sin {45}^{\circ }}}\\ BC& =& {\displaystyle \frac{20\sin {45}^{\circ }}{\sin {30}^{\circ }}}\\ BC& =& 28.28427125\text{ cm}\end{array}$

在 $\mathrm{\Delta }BCD$ 中，

$\begin{array}{rcl}\cos {30}^{\circ }& =& {\displaystyle \frac{BD}{BC}}\\ BD& =& BC\cos {30}^{\circ }\\ & =& 24.49489743\text{ cm}\end{array}$

1. 在 $\mathrm{\Delta }ACD$ 中，

   $\begin{array}{rcl}\cos {45}^{\circ }& =& {\displaystyle \frac{AD}{AC}}\\ AD& =& 20\cos {45}^{\circ }\\ & =& 14.14213562\text{ cm}\end{array}$

   在 $\mathrm{\Delta }ABD$ 中，根據餘弦公式可得

   $\begin{array}{rcl}\cos \mathrm{\angle }BDA& =& {\displaystyle \frac{A{D}^2+B{D}^2-A{B}^2}{2(AD)(BD)}}\\ & =& 0.68704682\\ \mathrm{\angle }BDA& =& 46.603208{66}^{\circ }\end{array}$

   所以，所求的角為 ${46.6}^{\circ }$。

2. 留意 $ABCD$ 的體積

   $\begin{array}{cl}=& {\displaystyle \frac{1}{3}}(\mathrm{\Delta }ADB\text{ 的面積})(DC)\end{array}$

   以及 $\mathrm{\Delta }ADB$ 的面積

   $\begin{array}{cl}=& {\displaystyle \frac{1}{2}}(AD)(BD)\sin \mathrm{\angle }ADB\end{array}$

   因為 $AD$、$BD$ 及 $DC$ 的長度不變，所以 $ABCD$ 的體積隨 $\sin \mathrm{\angle }ADB$ 正變。

   當 $\mathrm{\angle }ADB$ 由 ${40}^{\circ }$ 增加至 ${90}^{\circ }$， $\sin \mathrm{\angle }ADB$ 增加且 $ABCD$ 的體積增加。

   當 $\mathrm{\angle }ADB$ 由 ${90}^{\circ }$ 增加至 ${140}^{\circ }$， $\sin \mathrm{\angle }ADB$ 減少且 $ABCD$ 的體積減少。