2011SP-I-18

$\begin{array}{rcl}
\dfrac{20}{\sin 30^\circ} & = & \dfrac{BC}{\sin 45^\circ} \\
BC & = & \dfrac{20\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} \\
BC & = & 28.284~271~25\mbox{ cm}
\end{array}$

在 $\Delta BCD$ 中，

$\begin{array}{rcl}
\cos 30^\circ & = & \dfrac{BD}{BC} \\
BD & = & BC\cos 30^\circ \\
& = & 24.494~897~43\mbox{ cm}
\end{array}$

1. 在 $\Delta ACD$ 中，

   $\begin{array}{rcl}
   \cos 45^\circ & = & \dfrac{AD}{AC} \\
   AD & = & 20\cos 45^\circ \\
   & = & 14.142~135~62\mbox{ cm}
   \end{array}$

   在 $\Delta ABD$ 中，根據餘弦公式可得

   $\begin{array}{rcl}
   \cos \angle BDA & = & \dfrac{AD^2+BD^2-AB^2}{2(AD)(BD)} \\
   & = & 0.687~046~82 \\
   \angle BDA & = & 46.603~208~66^\circ
   \end{array}$

   所以，所求的角為 $46.6^\circ$。

2. 留意 $ABCD$ 的體積

   $\begin{array}{cl}
   = & \dfrac{1}{3}(\Delta ADB\text{ 的面積})(DC)
   \end{array}$

   以及 $\Delta ADB$ 的面積

   $\begin{array}{cl}
   = & \dfrac{1}{2} (AD)(BD)\sin \angle ADB
   \end{array}$

   因為 $AD$、$BD$ 及 $DC$ 的長度不變，所以 $ABCD$ 的體積隨 $\sin \angle ADB$ 正變。

   當 $\angle ADB$ 由 $40^\circ$ 增加至 $90^\circ$， $\sin \angle ADB$ 增加且 $ABCD$ 的體積增加。

   當 $\angle ADB$ 由 $90^\circ$ 增加至 $140^\circ$， $\sin \angle ADB$ 減少且 $ABCD$ 的體積減少。