2012-I-13

$\begin{array}{rcl}
f(2) & = & 0 \\
k(2)^3-21(2)^2+24(2)-4 & = & 0 \\
8k -40 & = & 0 \\
k & = & 5
\end{array}$

1. 長方形 $OPQR$ 的面積

   $\begin{array}{cl}
   = & RQ\times PQ \\
   = & m \times f(m) \\
   = & m(15m^2-63m+72) \\
   = & 15m^3 – 63m^2 +72m
   \end{array}$

2. 若長方形 $OPQR$ 的面積為 $12$，可得

   $\begin{array}{rcl}
   15m^3-63m^2+72m & = & 12 \\
   5m^3-21m^2+24m-4 & = & 0 \\
   (m-2)(5m^2-11m+2) & = & 0 \\
   (m-2)(m-2)(5m+1) & = & 0
   \end{array}$

   所以，$m=2$ (重根) 或 $m=\dfrac{-1}{5}$。

   由此，只有兩個不同點 $Q$ 使得長方形 $OPQR$ 的面積為 $12$。