2012-I-18

在 $\Delta ABP$ 中，利用正弦公式，可得

$\begin{array}{rcl}
\dfrac{AP}{\sin \angle ABP} & = & \dfrac{AB}{\sin \angle APB} \\
\dfrac{AP}{\sin 60^\circ} & = & \dfrac{20}{\sin 48^\circ} \\
AP & = & 23.307~042~56 \text{ cm}
\end{array}$

1. 在 $\Delta PAB$ 中，利用正弦公式，可得

   $\begin{array}{rcl}
   \dfrac{PB}{\sin \angle PAB} & = & \dfrac{AB}{\sin \angle APB} \\
   \dfrac{PB}{\sin 72^\circ} & = & \dfrac{20}{\sin 48^\circ} \\
   PB & = & 25.595~455~52\text{ cm}
   \end{array}$

   在 $AD$ 上加點 $X$ 使得 $PX \perp AD$。

   在 $\Delta PAX$ 中，

   $\begin{array}{rcl}
   \sin \angle PAX & = & \dfrac{PX}{PA} \\
   PX & = & PA \times \sin 72^\circ \\
   & = & 22.166~314~7\text{ cm}
   \end{array}$

   另外，

   $\begin{array}{rcl}
   \cos \angle PAX & = & \dfrac{AX}{PA} \\
   AX & = & PA \times \cos 72^\circ \\
   & = & 7.202~272~24\mbox{ cm}
   \end{array}$

   在 $BC$ 上加點 $Y$ 使得 $PY\perp BC$。

   留意 $BY=AX$。在 $\Delta PBY$ 中，

   $\begin{array}{rcl}
   PY & = & \sqrt{PB^2 – BY^2} \\
   & = & 24.561~242~19\text{ cm}
   \end{array}$

   在 $\Delta PXY$ 中，利用餘弦公式，可得

   $\begin{array}{rcl}
   \cos \angle PYX & = & \dfrac{PY^2+XY^2-PX^2}{2(PY)(XY)} \\
   & = & 0.521~053~766 \\
   \angle PYX & = & 58.597~037~33^\circ \\
   \end{array}$

   所以，$\alpha=58.6^\circ$。

2. 設 $P’$ 為點 $P$ 在底 $ABCD$ 上的投影。

   在 $\Delta PYP’$ 中， $\sin \alpha = \dfrac{PP’}{PY}$。

   在 $\Delta PBP’$ 中，$\sin \beta = \dfrac{PP’}{PB}$。

   由此，可得

   $\begin{array}{rcl}
   PY \sin \alpha & = & PB \sin \beta
   \end{array}$

   因為 $PY < PB$，所以

   $\begin{array}{rcl}
   \sin \alpha & > & \sin \beta \\
   \alpha & > & \beta
   \end{array}$