2012-II-45

$\begin{array}{rcl}
m_1 & = & \dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_{100}}{100} \\
100m_1 & = & x_1+x_2+\ldots+x_{100}
\end{array}$

所以，可得

$\begin{array}{rcl}
m_2 & = & \dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_{100}+m_1}{101} \\
& = & \dfrac{100m_1+m_1}{101} \\
& = & m_1
\end{array}$

II 必為正確。留意平均值必定大於最小的數據，以及小於最大的數據。所以兩組數據的最大及最小數據為相等。由此，$r_1=r_2$。

III 必為不正確。留意

$\begin{array}{rcl}
v_1 & = & \dfrac{(x_1-m_1)^2+\ldots+(x_{100}-m_1)^2}{100}
\end{array}$

所以，可得

$\begin{array}{rcl}
v_2 & = & \dfrac{1}{101}\left[(x_1-m_2)^2+\ldots+(x_{100}-m_2)^2+(m_1-m_2)^2\right] \\
& = & \dfrac{(x_1-m_1)^2+\ldots+(x_{100}-m_1)^2}{101} \\
& < & \dfrac{(x_1-m_1)^2+\ldots+(x_{100}-m_1)^2}{100} \\ & = & v_1 \end{array}$