2012PP-I-18

$\begin{array}{rcl}
AB^2 & = & AC^2+BC^2-2(AC)(BC)\cos \angle ACB \\
& = & (20)^2+(12)^2-2(20)(12)\cos 60^\circ \\
AB & = & \sqrt{304} \\
& = &17.435~595~77\mbox{ cm}
\end{array}$

留意 $\Delta ABC \cong \Delta ABD$。所以 $CX=DX$ 及 $DX\perp AB$。

由此，所求的角為 $\angle CXD$。

考慮 $\Delta ABC$ 的面積，

$\begin{array}{rcl}
\dfrac{1}{2}(AB)(CX) & = & \dfrac{1}{2}(BC)(AC)\sin \angle ABC \\
(\sqrt{304})(CX) & = & (12)(20)\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
CX & = & 11.920~791~21\mbox{ cm}
\end{array}$

在 $\Delta CXD$ 中，利用餘弦公式可得

$\begin{array}{rcl}
\cos \angle CXD & = & \dfrac{CX^2+DX^2-CD^2}{2(CX)(DX)} \\
\cos \angle CXD & = & 0.310~370~370\\
\angle CXD & = & 71.918~447~86^\circ
\end{array}$

所以，所求的角為 $71.9^\circ$。

$\begin{array}{rcl}
\cos \angle CXD & = &\dfrac{CX^2+DX^2-CD^2}{2(CX)(DX)} \\
& \le & \dfrac{CP^2+DP^2-CD^2}{2(CP)(DP)} \\
& = & \cos \angle CPD
\end{array}$

$\therefore \angle CXD \ge \angle CPD$。

所以，當 $P$ 由 $A$ 移至 $X$ 時，$\angle CPD$ 增加。

當 $P$ 由 $X$ 移至 $B$ 時，$\angle CPD$ 減少。