2013-II-18

因為 $AD:BC=2:3$ 及 $E$ 為 $BC$ 的中點，可得

$\begin{array}{rcl}AD:EC& =& 2:{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ & =& 4:3\end{array}$

因為 $\mathrm{\Delta }ADF\sim \mathrm{\Delta }CEF$，所以

$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }ADF\text{ 的面積}}{\mathrm{\Delta }CEF\text{ 的面積}}}& =& {\left({\displaystyle \frac{AD}{CE}}\right)}^2\\ \mathrm{\Delta }ADF\text{ 的面積}& =& 36\times {\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^2\\ & =& 64{\text{ cm}}^2\end{array}$

因為 $\mathrm{\Delta }CFD$ 及 $\mathrm{\Delta }CEF$ 有相同的高，可得

$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }CFD\text{ 的面積}}{\mathrm{\Delta }CEF\text{ 的面積}}}& =& {\displaystyle \frac{DF}{EF}}\\ & =& {\displaystyle \frac{AD}{CE}}\\ \mathrm{\Delta }CFD\text{ 的面積}& =& 36\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\\ & =& 48{\text{ cm}}^2\end{array}$

因為 $\mathrm{\Delta }AEF$ 及 $\mathrm{\Delta }CEF$ 有相同的高，可得

$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }AEF\text{ 的面積}}{\mathrm{\Delta }CEF\text{ 的面積}}}& =& {\displaystyle \frac{AF}{CF}}\\ & =& {\displaystyle \frac{AD}{CE}}\\ \mathrm{\Delta }CFD\text{ 的面積}& =& 36\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\\ & =& 48{\text{ cm}}^2\end{array}$

因為 $\mathrm{\Delta }ABE$ 及 $\mathrm{\Delta }ACE$ 有相同的高，可得

$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }ABE\text{ 的面積}}{\mathrm{\Delta }ACE\text{ 的面積}}}& =& {\displaystyle \frac{BE}{CE}}\\ \mathrm{\Delta }CFD\text{ 的面積}& =& 36+48\\ & =& 84{\text{ cm}}^2\end{array}$

所以，梯形 $ABCD$ 的面積

$\begin{array}{cl}=& 64+48+36+48+84\\ =& 280{\text{ cm}}^2\end{array}$