2014-I-17

$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{AB}{\sin \mathrm{\angle }AVB}}& =& {\displaystyle \frac{VB}{\sin \mathrm{\angle }VAB}}\\ {\displaystyle \frac{18}{\sin \mathrm{\angle }AVB}}& =& {\displaystyle \frac{30}{\sin \mathrm{\angle }{110}^{\circ }}}\\ \sin \mathrm{\angle }AVB& =& {\displaystyle \frac{18\sin {110}^{\circ }}{30}}\\ \mathrm{\angle }AVB& =& 34.320082{91}^{\circ }\end{array}$

所以，可得

$\begin{array}{rcl}\mathrm{\angle }VBA& =& {180}^{\circ }–\mathrm{\angle }AVB–\mathrm{\angle }VAB\\ & =& 35.679917{09}^{\circ }\\ & \approx & {35.7}^{\circ }\end{array}$

$\begin{array}{rcl}M{P}^2& =& B{P}^2+B{M}^2-2(BP)(BM)\cos \mathrm{\angle }VBA\\ M{P}^2& =& 86.68223575\\ MP& =& 9.310329519\text{ cm}\end{array}$

由於 $M$ 及 $N$ 分別為 $VB$ 及 $VC$ 的中點，在 $\mathrm{\Delta }VBC$ 運用中點定理，可得

$\begin{array}{rcl}MN& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times BC\\ & =& 5\text{ cm}\end{array}$

由於 $P$ 及 $Q$ 分別為 $AB$ 及 $DC$ 的中點，則可得

$\begin{array}{rcl}PQ& =& BC\\ & =& 10\text{ cm}\end{array}$

考慮梯形 $PQNM$。設 $h\text{ cm}$ 為梯形 $PQNM$ 的高。

留意 $MP=NQ$，可得

$\begin{array}{rcl}PX& =& {\displaystyle \frac{PQ-MN}{2}}\\ & =& 2.5\text{ cm}\end{array}$

所以，可得

$\begin{array}{rcl}h& =& \sqrt{M{P}^2–P{X}^2}\\ & =& 8.968402073\text{ cm}\end{array}$

由此，梯形 $PQNM$ 的面積

$\begin{array}{cl}=& {\displaystyle \frac{1}{2}}(MN+PQ)\times h\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}(10+5)\times 8.968402073\\ =& 67.26301555{\text{ cm}}^2\\ <& 70{\text{ cm}}^2\end{array}$

所以，我同意該工匠。