- 把 $y=0$ 代入 $y=f(x)$，可得
$\begin{array}{rcl}
2x^2 -4kx + 3k^2 +5 & = & 0 \ldots (*)\\
\end{array}$考慮 $(*)$ 的判別式，可得
$\begin{array}{rcl}
\Delta & = & (-4k)^2 – 4(2)(3k^2+5) \\
\Delta & = & 16k^2 -24k^2 -40\\
\Delta & = & -8k^2 -40 \\
\Delta & < & 0 \ \text{，$k$ 為所有實常數。} \end{array}$所以，$y=f(x)$ 的圖像不會與 $x$ 軸相交。
-
$\begin{array}{rcl}
f(x) & = & 2x^2 -4kx +3k^2 +5 \\
f(x) & = & 2(x^2 -2kx) + 3k^2 +5 \\
f(x) & = & 2(x^2 -2kx + k^2 – k^2) +3k^2 +5 \\
f(x) & = & 2[(x-k)^2 -k^2] + 3k^2 +5 \\
f(x) & = & 2(x-k)^2 -2k^2 +3k^2 +5 \\
f(x) & = & 2(x-k)^2 +k^2 +5
\end{array}$所以，$y=f(x)$ 的圖像的頂點為 $(k,k^2+5)$。
- 留意 $y=2-f(x)$ 的圖像是把 $y=f(x)$ 對 $x$ 軸作反射，再向上平移 $2$ 單位而求得。所以 $y=2-f(x)$ 的圖像的頂點
$\begin{array}{cl}
= & (k, -(k^2+5) +2) \\
= & (k, -k^2 -3)
\end{array}$當 $S$ 及 $T$ 最接近時，$S$ 及 $T$ 會分別移動至 $y=f(x)$ 和 $y=2-f(x)$ 兩圖像的頂點。所以，$S$ 及 $T$ 會分別成為 $(k,k^2+5)$ 及 $(k,-k^2-3)$。留意 $\Delta OST$ 的外心會在 $ST$ 的垂直平分線之上。$ST$ 的中點
$\begin{array}{cl}
= & \left(k, \dfrac{(k^2+5) + (-k^2 -3)}{2} \right) \\
= & (k, 1)
\end{array}$留意 $ST$ 為一條鉛垂線。所以 $ST$ 的垂直平分線的方程為 $y=1$。由於直線 $y=1$ 與 $x$ 軸互相平行，且 $\Delta OST$ 的外心必須在 $y=1$ 之上，所以 $\Delta OST$ 的外心不會在 $x$ 軸之上。由此，該宣稱不正確。
2015-I-18
答案：(a) 不會 (b) $(k, k^2+5)$ (c) 不正確
