2015-I-19

1. 在 $\mathrm{\Delta }ABC$ 運用餘弦公式，可得

   $\begin{array}{rcl}A{C}^2& =& A{B}^2+B{C}^2–2(AB)(AC)\cos \mathrm{\angle }ABC\\ A{C}^2& =& (40{)}^2+(24{)}^2-2(40)(24)\cos \mathrm{\angle }{80}^{\circ }\\ AC& =& 42.92546446\end{array}$

   所以，$A$ 至 $C$ 的距離為 $42.9\text{ cm}$。

2. 在 $\mathrm{\Delta }ABC$ 運用正弦公式，可得

   $\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{AB}{\sin \mathrm{\angle }ACB}}& =& {\displaystyle \frac{AC}{\sin \mathrm{\angle }ABC}}\\ {\displaystyle \frac{40}{\sin \mathrm{\angle }ACB}}& =& {\displaystyle \frac{42.92546446}{\sin {80}^{\circ }}}\\ \sin \mathrm{\angle }ACB& =& {\displaystyle \frac{40\sin {80}^{\circ }}{42.92546446}}\\ \sin \mathrm{\angle }ACB& =& 0.917690926\\ \mathrm{\angle }ACB& =& 66.590814{87}^{\circ }\\ \mathrm{\angle }ACB& \approx & {66.6}^{\circ }\end{array}$

3. 連結 $AC$ 及 $AD$。
   

   明顯地該紙卡分為三部分：$\mathrm{\Delta }ABC$、$\mathrm{\Delta }ACD$ 及 $\mathrm{\Delta }A{B}^{\prime }D$。由於 $AB=A{B}^{\prime }=40$、$BC=B^{\prime }D=24$ 及 $\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }A{B}^{\prime }D={80}^{\circ }$，所以 $\mathrm{\Delta }ABC\cong \mathrm{\Delta }A{B}^{\prime }D$。$\mathrm{\Delta }ABC$ 的面積

   $\begin{array}{cl}=& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times AB\times BC\times \sin \mathrm{\angle }ABC\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times 40\times 24\times \sin {80}^{\circ }\\ =& 480\sin {80}^{\circ }{\text{ cm}}^2\end{array}$

   由於 $AC=AD$，則 $\mathrm{\Delta }ACD$ 的面積

   $\begin{array}{cl}=& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times AC\times AD\times \sin \mathrm{\angle }CAD\\ =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times 42.925464{46}^2\times \sin \mathrm{\angle }CAD\\ =& 921.2977494\sin \mathrm{\angle }CAD{\text{ cm}}^2\end{array}$

   所以，該紙卡的面積

   $\begin{array}{cl}=& 2\times 480\sin {80}^{\circ }+921.2977494\sin \mathrm{\angle }CAD\\ =& 960\sin {80}^{\circ }+921.2977494\sin \mathrm{\angle }CAD\end{array}$

   由此，$\sin \mathrm{\angle }CAD$ 的值越大，該紙卡的面積越大。

   留意 $AC=AD$，則 $\mathrm{\angle }ACD=\mathrm{\angle }ADC$。

   $\begin{array}{rcl}\mathrm{\angle }CAD& =& {180}^{\circ }–2\times \mathrm{\angle }ACD\\ \mathrm{\angle }CAD& =& {180}^{\circ }–2\times (\mathrm{\angle }BCD–\mathrm{\angle }ACB)\\ \mathrm{\angle }CAD& =& {180}^{\circ }–2\mathrm{\angle }BCD+2(66.590814{87}^{\circ })\\ \mathrm{\angle }CAD& =& 313.1816297^{\circ }–2\mathrm{\angle }BCD\end{array}$

   由於 ${105}^{\circ }\le \mathrm{\angle }BCD\le {145}^{\circ }$，則可得

   $23.181629{74}^{\circ }\le \mathrm{\angle }CAD\le 103.1816297^{\circ }$。

   所以，$\sin \mathrm{\angle }CAD$ 的值在 $\mathrm{\angle }CAD={90}^{\circ }$ 時為最大。由此，該紙卡的面積在 $\mathrm{\angle }CAD={90}^{\circ }$ 時為最大。若 $\mathrm{\angle }CAD={90}^{\circ }$，$\mathrm{\angle }ACD={45}^{\circ }$。所以，該紙卡的面積在 $\mathrm{\angle }BCD$

   $\begin{array}{cl}=& {45}^{\circ }+\mathrm{\angle }ACB\\ =& {45}^{\circ }+66.590814{87}^{\circ }\\ =& 111.5908149^{\circ }\end{array}$

   時為最大。

   由此，我們可下此結論：

   當 $\mathrm{\angle }BCD$ 由 ${105}^{\circ }$ 增加至 $111.5908149^{\circ }$，該紙卡的面積會隨之增加。當 $\mathrm{\angle }BCD$ 由 $111.5908149^{\circ }$ 增加至 ${145}^{\circ }$，該紙卡的面積會隨之減少。

考慮 $\mathrm{\Delta }ACE$，

$\begin{array}{rcl}\mathrm{\angle }ACD& =& \mathrm{\angle }BCD–\mathrm{\angle }ACB\\ \mathrm{\angle }ACD& =& {132}^{\circ }–66.590814{87}^{\circ }\\ \mathrm{\angle }ACD& =& 65.409185{513}^{\circ }\end{array}$

由於 $AC=AD$ 及 $E$ 為 $CD$ 的中點，則 $\mathrm{\angle }AEC$ 為一直角。由此，可得

$\begin{array}{rcl}\cos \mathrm{\angle }ACE& =& {\displaystyle \frac{CE}{AC}}\\ CE& =& AC\cos \mathrm{\angle }ACE\\ CE& =& 42.92546446\cos 65.409185{513}^{\circ }\\ CE& =& 17.86278929\text{ cm}\end{array}$

及

$\begin{array}{rcl}\sin \mathrm{\angle }ACE& =& {\displaystyle \frac{AE}{AC}}\\ AE& =& AC\sin \mathrm{\angle }ACE\\ AE& =& 42.92546446\sin 65.409185{513}^{\circ }\\ AE& =& 39.03224638\text{ cm}\end{array}$

考慮 $\mathrm{\Delta }BCE$。由於 $BC=BD$ 及 $E$ 為 $CD$ 的中點，則 $\mathrm{\angle }BEC$ 為一直角。在 $\mathrm{\Delta }BCD$ 中運用畢氏定理，可得

$\begin{array}{rcl}B{E}^2& =& B{C}^2–C{E}^2\\ BE& =& \sqrt{{24}^2–(17.86278929{)}^2}\\ BE& =& 16.02874788\text{ cm}\end{array}$

考慮 $\mathrm{\Delta }ABE$。在 $\mathrm{\Delta }ABE$ 中運用餘弦公式，可得

$\begin{array}{rcl}\cos \mathrm{\angle }AEB& =& {\displaystyle \frac{A{E}^2+B{E}^2–A{B}^2}{2(AE)(BE)}}\\ \cos \mathrm{\angle }AEB& =& 0.144202402\\ \mathrm{\angle }AEB& =& 81.708905{17}^{\circ }\end{array}$

設 $X$ 為 $B$ 在平面 $ACD$ 上的垂足。由於 $\mathrm{\Delta }ABC\cong \mathrm{\Delta }ABD$，則 $X$ 在 $AE$ 之上。

考慮 $\mathrm{\Delta }BXE$。留意 $\mathrm{\angle }BXE$ 為一直角。由此，可得

$\begin{array}{rcl}\sin \mathrm{\angle }BEX& =& {\displaystyle \frac{BX}{BE}}\\ BX& =& BE\sin \mathrm{\angle }BEX\\ BX& =& 16.02874788\sin 81.708905{17}^{\circ }\\ BX& =& 15.86121883\text{ cm}\end{array}$

所以，角錐體 $ABCD$ 的體積

$\begin{array}{cl}=& {\displaystyle \frac{1}{3}}\times \text{ the area of }\mathrm{\Delta }ACD\times BX\\ =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\times CD\times AE\times BX\\ =& 3686.278337{\text{ cm}}^3\\ \approx & 3690{\text{ cm}}^3\end{array}$