2016-I-13

$\begin{array}{rcll}
\angle ADC & = & \angle AEB & \text{(已知)} \\
AD & = & AE & \text{(等角對等邊)}
\end{array}$

在 $\Delta ACD$ 及 $\Delta ABE$，

$\begin{array}{rcll}
\angle ADC & = & \angle AEB & \text{(已知)} \\
AD & = & AE & \text{(已證)} \\
CD & = & CE + ED & \\
& = & BD + ED & \text{(已知)} \\
& = & BE &
\end{array}$

所以 $\Delta ACD \cong \Delta ABE$ (S.A.S.)。

1. 留意 $AD = AE$，則 $\Delta ADE$ 為等腰三角形。也留意 $DM = EM$，則 $AM$ 為 $\Delta ADE$ 的中線。若以 $DE$ 為底，等腰 $\Delta ADE$ 的中線則為 $\Delta ADE$ 的高。由此，$\angle AMD = 90^\circ$。則可得

   $\begin{array}{rcll}
   AM^2 & = & AD^2 – DM^2 & \text{(畢氏定理)} \\
   AM & = & \sqrt{15^2 – (\dfrac{18}{2})^2} & \\
   AM & = & 12 \text{ cm}
   \end{array}$

2. 考慮 $\Delta ABM$，

   $\begin{array}{rcll}
   AB^2 & = & AM^2 + BM^2 & \text{(畢氏定理)} \\
   AB & = & \sqrt{12^2 + (9+7)^2} & \\
   AB & = & 20 \text{ cm} &
   \end{array}$

   留意 $AD = AE = 15\text{ cm}$。考慮 $\Delta ABE$，

   $\begin{array}{rcl}
   AB^2 + AE^2 & = & 20^2 + 15^2 \\
   & = & 625
   \end{array}$

   $\begin{array}{rcl}
   BE^2 & = & (7+18)^2 \\
   & = & 625
   \end{array}$

   $\because AB^2 + AE^2 = BE^2 = 625$,

   $\therefore$ 透過畢氏定理的逆定理，$\Delta ABE$ 為一直角三角形。