2016-I-14

$\begin{array}{rcl}
p(2) & = & p(-2) \\
6(2)^4 + 7(2)^3 + a(2)^2 + b(2) +c & = & 6(-2)^4 + 7(-2)^3 +a(-2)^2 +b(-2) +c \\
152 +4a + 2b +c & = & 40+ 4a -2b +c \\
4b & = & -112 \\
b & = & -28
\end{array}$

另外，

$\begin{array}{rcl}
p(x) & \equiv & (lx^2+5x+8)(2x^2+mx+n) \\
& \equiv & 2lx^4 + (10+ml) x^3 + (ln + 5m + 16)x^2 + (5n + 8m) x + 8n \\
\end{array}$

透過比較 $p(x)$ 兩方的係數，可得

$\left\{ \begin{array}{ll}
2l = 6 & \ldots \unicode{x2460} \\
10+ml = 7 & \ldots \unicode{x2461} \\
ln + 5m + 16 = a & \ldots \unicode{x2462} \\
5n + 8m = -28 & \ldots \unicode{x2463} \\
8n=c & \ldots \unicode{x2464}
\end{array} \right.$

從 $\unicode{x2460}$，可得 $l=3$。

把 $l=3$ 代入 $\unicode{x2461}$，可得

$\begin{array}{rcl}
10 + m(3) & = & 7 \\
3m & = & -3 \\
m & = & -1
\end{array}$

把 $m=-1$ 代入 $\unicode{x2463}$，可得

$\begin{array}{rcl}
5n + 8(-1) & = & -28 \\
5n & = & -20 \\
n & = & -4
\end{array}$

所以，$l=3$、$m=-1$ 及 $n=-4$。

$\begin{array}{rcl}
p(x) & = & 0 \\
(3x^2+5x+8)(2x^2-x-4) & = & 0 \\
\end{array}$

所以，$3x^2+5x+8=0$ 或 $2x^2-x-4=0$。

考慮方程 $3x^2 +5x +8=0$ 的判別式，

$\begin{array}{rcl}
\Delta & = & (5)^2 – 4(3)(8) \\
& = & -71 \\
& < & 0 \end{array}$

所以，方程 $3x^2+5x+8=0$ 沒有實根。

考慮方程 $2x^2-x-4=0$ 的判別式，

$\begin{array}{rcl}
\Delta & = & (-1)^2 -4(2)(-4) \\
& = & 33 \\
& > & 0
\end{array}$

所以，方程 $2x^2-x-4=0$ 有兩個相異實根。

由此，$p(x) = (3x^2+5x+8)(2x^2-x-4)=0$ 有兩個相異實根。