2017-I-14

$\begin{array}{rcl}
f(x) & = & (2x^2+ax+4)(3x+7) + (bx+c) \\
f(x) & = & 6x^2 + (3a+14)x^2 +(12 + 7a + b)x + (28+c)
\end{array}$

透過比較該多項式 $x^2$ 項的係數，可得

$\begin{array}{rcl}
-13 & = & 3a+14 \\
3a & = & -27 \\
a & = & -9
\end{array}$

1. 利用除法算式，可得

   $\begin{array}{rcl}
   g(x) & = & (2x^2+ax+4)Q(x) + (bx+c)
   \end{array}$,

   其中 $Q(x)$ 為一多項式。所以，可得

   $\begin{array}{cl}
   & f(x) – g(x) \\
   = & [(2x^2+ax+4)(3x+7)+(bx+c)] – [(2x^2+ax+4)Q(x) + (bx+c)] \\
   = & (2x^2+ax+4)[(3x+7) – Q(x)]
   \end{array}$

   由於 $(3x+7) – Q(x)$ 為一多項式，所以根據除法算式，$f(x) – g(x)$ 可被 $2x^2+ax+4$ 整除。

2. 考慮 $f(x)-g(x)=0$。利用 (a) 及 (b)(i) 的結果，可得

   $\begin{array}{rcl}
   (2x^2-9x+4)[(3x+7) – Q(x)] & = & 0 \\
   \end{array}$

   $\therefore 2x^2-9x+4=0$ 或 $(3x+7) – Q(x)=0$。

   考慮 $2x^2-9x+4=0$，可得

   $\begin{array}{rcl}
   2x^2-9x+4 & = & 0 \\
   (2x – 1)(x-4) & = & 0
   \end{array}$

   $\therefore x=\dfrac{1}{2}$ 或 $x=4$。

   由於 $\dfrac{1}{2}$ 不是整數，則方程 $f(x)-g(x)=0$ 不是所有根均為整數。我不同意。