2017-I-18

$\begin{array}{rcl}
2x^2 – 2kx + 2x -3k + 8 & = & 19 \\
2x^2 +(-2k + 2) x +(-3k-11) & = & 0 \ \ldots (*)
\end{array}$

所以，可得

$\begin{array}{rcl}
\Delta & = & (-2k+2)^2 – 4(2)(-3k-11) \\
& = & 4k^2 – 8k + 4 +24k + 88 \\
& = & 4k^2 + 16k + 92 \\
& = & 4(k^2 + 4k + 23) \\
& = & 4(k^2 + 4k + 4 + 19) \\
& = & 4[(k + 4)^2 +19] \\
& = & 4(k+4)^2 + 76
\end{array}$

對於所有實常數 $k$，

$\begin{array}{rcl}
(k+2)^2 & \ge & 0 \\
4(k+2)^2 + 76 & > & 0
\end{array}$

所以，$L$ 與 $\Gamma$ 相交於兩相異點。

1. 留意 $a$ 及 $b$ 均為方程 $(*)$ 的根，可得

   $\begin{array}{rcl}
   a + b & = & -\dfrac{-2k+2}{2} \\
   a + b & = & k-1
   \end{array}$

   以及

   $\begin{array}{rcl}
   ab & = & \dfrac{-3k-11}{2}
   \end{array}$

   由此，可得

   $\begin{array}{cl}
   & (a-b)^2 \\
   = & a^2 – 2ab + b^2 \\
   = & a^2 +2ab + b^2 -4ab \\
   = & (a+b)^2 – 4ab \\
   = & (k-1)^2 – 4 \times ( \dfrac{-3k-11}{2} ) \\
   = & (k^2 -2k + 1) + 6k + 22 \\
   = & k^2 +4k + 23
   \end{array}$

2. $A$ 與 $B$ 間的距離

   $\begin{array}{cl}
   = & \left| a -b \right| \\
   = & \sqrt{(a-b)^2} \\
   = & \sqrt{k^2 + 4k + 23} \\
   = & \sqrt{k^2 + 4k + 4 + 19} \\
   = & \sqrt{(k+2)^2 + 19} \\
   \ge & \sqrt{19} \text{，對於任何實常數 $k$} \\
   > & 4
   \end{array}$

   所以，$A$ 與 $B$ 間的距離沒有可能少於 $4$。