根據題目繪畫以下圖像。
根據圖像，圓心的 $x$ 及 $y$ 坐標均為該圓的半徑。設 $I(r,r)$ 為內心的坐標。
由於 $\Delta OPQ$ 的內心在直線 $3x+4y = 3p$ 之上，可得
$\begin{array}{rcl}
3r + 4r & = & 3p \\
7r & = & 3p \\
r & = & \dfrac{3p}{7}
\end{array}$
考慮 $\Delta OPQ$。
$\begin{array}{rcl}
QA & = & OQ – OA \\
QA & = & q – r \\
QA & = & q – \dfrac{3p}{7}
\end{array}$
另外，
$\begin{array}{rcl}
PB & = & OP – OB \\
PB & = & p – r \\
PB & = & p – \dfrac{3p}{7} \\
PB & = & \dfrac{4p}{7}
\end{array}$
由於 $OP$、$OQ$ 及 $PQ$ 均為圓的切線，所以 $QC = QA$ 及 $PC = PB$ (切線性質)。由此，可得
$\begin{array}{rcl}
PQ & = & PC + QC \\
PQ & = & PB + QA \\
\sqrt{(p-0)^2 + (q-0)^2} & = & \dfrac{4p}{7} + q – \dfrac{3p}{7} \\
p^2 + q^2 & = & (\dfrac{p}{7} +q)^2 \\
p^2 + q^2 & = & \dfrac{p^2}{49} + \dfrac{2pq}{7} + q^2 \\
\dfrac{48p^2}{49} & = & \dfrac{2pq}{7} \\
\dfrac{p^2}{pq} & = & \dfrac{7}{24} \\
\dfrac{p}{q} & = & \dfrac{7}{24} \\
p : q & = & 7 : 24
\end{array}$
