2018-I-12

$\begin{array}{rcl}
f(3) & = & 0 \\
4(3)[(3) + 1]^2 + a(3) + b & = & 0 \\
3a + b + 192 & = & 0 \ \ldots \unicode{x2460}
\end{array}$

由於當 $f(x)$ 除以 $x + 2$ 時的餘數為 $2b + 165$，利用餘式定理，可得

$\begin{array}{rcl}
f(-2) & = & 2b + 165 \\
4(-2)[(-2) + 1]^2 + a(-2) + b & = & 2b + 165 \\
-2a + b – 8 & = & 2b + 165 \\
2a + b +173 & = & 0 \ \ldots \unicode{x2461}
\end{array}$

$\unicode{x2460} – \unicode{x2461}$，可得

$\begin{array}{rcl}
a +19 & = & 0 \\
a & = & -19 \ \ldots \unicode{x2462}
\end{array}$

把 $\unicode{x2462}$ 代入 $\unicode{x2460}$，可得

$\begin{array}{rcl}
3(-19) + b + 192 & = & 0 \\
b & = & -135
\end{array}$

$\begin{array}{rcl}
f(x) & = & 0 \\
4x(x+1)^2 – 19x – 135 & = & 0 \\
4x^3 + 8x^2 + 4x – 19x – 135 & = & 0 \\
4x^3 + 8x^2 – 15x – 135 & = & 0 \\
(x – 3)(4x^2 + 20x + 45) & = & 0
\end{array}$

所以 $x=3$ 或 $4x^2 + 20x + 45 = 0$。

考慮 $4x^2 + 20x + 45 = 0$ 的判別式，可得

$\begin{array}{rcl}
\Delta & = & 20^2 – 4 \times 4 \times 45 \\
& = & -320 \\
& < & 0 \end{array}$

所以，方程 $4x^2 + 20x + 45 = 0$ 沒有實根。

留意 $3$ 並不是一個無理數。由此，$f(x) = 0$ 並沒有無理數根。

我不同意該宣稱。