答案：(a) $4096\pi\text{ cm}^3$ (b) $48\text{ cm}$ (c) 不會
- 器皿內水的體積
$\begin{array}{cl}
= & \pi \times 8^2 \times 64 \\
= & 4096\pi \text{ cm}^3
\end{array}$ - 設 $r\text{ cm}$ 及 $h \text{ cm}$ 分別為水面的半徑及器皿內水的深度。
$\begin{array}{rcl}
\dfrac{r}{20} & = & \dfrac{h}{60} \\
r & = & \dfrac{h}{3}
\end{array}$由此，利用 (a) 的結果，可得
$\begin{array}{rcl}
\dfrac{1}{3} \pi r^2 \times h & = & 4096\pi \\
\dfrac{1}{3} \pi \times \left(\dfrac{h}{3} \right)^2 \times h & = & 4096\pi \\
h^3 & = & 110\ 592 \\
h & = & 48
\end{array}$所以，器皿內水的深度為 $48\text{ cm}$。
- 器皿的容量
$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{1}{3} \pi (20)^2 \times 60 \\
= & 8000\pi \text{ cm}^3
\end{array}$該金屬球及水的總體積
$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{4}{3} \pi (14)^3 + 4096\pi \\
= & 7754\dfrac{2}{3}\pi \text{ cm}^3 \\
< & 8000\pi \text{ cm}^2 \end{array}$所以，水不會溢出。
