2018-II-21

答案：C
I 未必正確。題目沒有足有資訊證明 $AF \sin \alpha = BE \sin \beta$ 為正確或錯誤。

II 必為正確。在 $\Delta BCE$ 中，

$\begin{array}{rcl}
\cos \alpha & = & \dfrac{BE}{CE} \\
BE & = & CE \cos \alpha
\end{array}$

在 $\Delta ADF$ 中，

$\begin{array}{rcl}
\cos \beta & = & \dfrac{AF}{DF} \\
AF & = & DF \cos \beta
\end{array}$

由於 $E$ 及 $F$ 把 $AB$ 等分為三部分，所以 $AF = BE$。由此，$CE \cos \alpha = DF \cos \beta$。

III 必為正確。在 $\Delta BCE$，

$\begin{array}{rcl}
\tan \alpha & = & \dfrac{BC}{BE} \\
BE & = & \dfrac{BC}{\tan \alpha}
\end{array}$

在 $\Delta ADF$，

$\begin{array}{rcl}
\tan \beta & = & \dfrac{AD}{AF} \\
AF & = & \dfrac{AD}{\tan \beta}
\end{array}$

由於 $E$ 及 $F$ 把 $AB$ 等分為三部分，所以 $AF = BE$。由此，可得

$\begin{array}{rcl}
\dfrac{BC}{\tan \alpha} & = & \dfrac{AD}{\tan \beta} \\
AD \tan \alpha & = & BC \tan \beta
\end{array}$