2018-II-32

答案：C
I 為正確。若 $a < 1$，其圖像會如下：

II 不正確。設 $x_0$ 為 $A$ 及 $B$ 的 $x$ 坐標。考慮 $A$ 及 $B$ 的 $y$ 坐標。

$\begin{array}{rcl}
\text{$A$ 的 $y$ 坐標} & > & \text{$B$ 的 $y$ 坐標} \\
\log_a x_0 & > & \log_b x_0 \\
\dfrac{\log x_0}{\log a} & > & \dfrac{\log x_0}{\log b} \\
\log b & > & \log a \\
b & > & a
\end{array}$

III 為正確。設 $x_0$ 為 $A$、$B$ 及 $C$ 的 $x$ 坐標。由此 $ABC$ 為一鉛垂線，則可得

$\begin{array}{rcl}
\dfrac{AB}{BC} & = & \dfrac{\text{$A$ 的 $y$ 坐標} – \text{$B$ 的 $y$ 坐標}}{\text{$B$ 的 $y$ 坐標}} \\
& = & \dfrac{\log_a x_0 – \log_b x_0}{\log_b x_0} \\
& = & \dfrac{\log_a x_0}{\log_b x_0} – 1 \\
& = & \dfrac{\log x_0}{\log a} \div \dfrac{\log x_0}{\log b} – 1 \\
& = & \dfrac{\log b}{\log a} – \log_a a \\
& = & \log_a b – \log_a a \\
& = & \log_a \dfrac{b}{a}
\end{array}$