2019-I-11

由於當 $p(x)$ 除以 $x – 1$ 時的餘數為 $50$，所以根據餘式定理，可得

$\begin{array}{rcl}
p(1) & = & 50 \\
[2(1)^2 + 9(1) + 14][a(1) + b] & = & 50 \\
25( a + b) & = & 50 \\
a + b & = & 2 \ \ldots \unicode{x2460}
\end{array}$

由於當 $p(x)$ 除以 $x + 2$ 時的餘數為 $-52$，所以根據餘式定理，可得

$\begin{array}{rcl}
h(-2) & = & -52 \\
[2(-2)^2 + 9(-2) + 14][a(-2) + b] & = & -52 \\
4(-2a + b) & = & -52 \\
2a – b & = & 13 \ \ldots \unicode{x2461}
\end{array}$

$\unicode{x2460} + \unicode{x2461}$，可得

$\begin{array}{rcl}
3a & = & 15 \\
a & = & 5
\end{array}$

把 $a + 5$ 代入 $\unicode{x2460}$，可得

$\begin{array}{rcl}
5 + b & = & 2 \\
b & = -3
\end{array}$

所以，所求的商式為 $5x – 3$。

$\begin{array}{rcl}
p(x) & = & 0 \\
(2x^2 + 9x + 14)(5x – 3) & = & 0 \\
\end{array}$

所以，$x = \dfrac{3}{5}$ 或 $2x^2 + 9x + 14 = 0$。

$2x^2 + 9x + 14 = 0$ 的判別式

$\begin{array}{cl}
= & 9^2 – 4 \times 2 \times 14 \\
= & -31 \\
< & 0 \end{array}$

所以，$2x^2 + 9x + 14 = 0$ 沒有實根。

由此，方程 $p(x) = 0$ 只有一個有理根 $\dfrac{3}{5}$。