2020-M2-05

對於 $n=1$，

$\begin{array}{rclll}
\text{左方} & = & \dfrac{1}{(1)(1+1)(1+2)} & = & \dfrac{1}{6}
\end{array}$

$\begin{array}{rclll}
\text{右方} & = & \dfrac{(1)(1+3)}{4(1+1)(1+2)} & = & \dfrac{1}{6}
\end{array}$

$\therefore \text{左方} = \text{右方}$。

$\therefore P(1)$ 為真。

假定對於正整數 $m \ge 1$，$P(m)$ 為真。

即 $\dsum_{k=1}^m \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{m(m+3)}{4(m+1)(m+2)}$。

對於 $n=m+1$，

$\begin{array}{cl}
& \text{左方} \\
= & \dsum_{k=1}^{m+1} \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} \\
= & \dsum_{k=1}^m \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} +\dfrac{1}{(m+1)(m+1+1)(m+1+2)} \\
= & \dfrac{m(m+3)}{4(m+1)(m+2)} +\dfrac{1}{(m+1)(m+2)(m+3)} \\
= & \dfrac{m(m+3)(m+3)+4}{4(m+1)(m+2)(m+3)} \\
= & \dfrac{m(m^2+6m+9)+4}{4(m+1)(m+2)(m+3)} \\
= & \dfrac{m^3+6m^2+9m+4}{4(m+1)(m+2)(m+3)} \\
= & \dfrac{(m+1)(m^2+5m+4)}{4(m+1)(m+2)(m+3)} \\
= & \dfrac{(m+1)(m+1)(m+4)}{4(m+1)(m+2)(m+3)} \\
= & \dfrac{(m+1)(m+4)}{4(m+2)(m+3)} \\
= & \text{右方}
\end{array}$

所以，$P(m+1)$ 也為真。

所以根據數學歸納法，對於所有正整數 $n$，$P(n)$ 為真。