2020-M2-07

由於 $\Gamma$ 通過點 $(1,2)$，可得

$\begin{array}{rcl}
2 & = & -(1)^2+8(1)+C \\
C & = & -5
\end{array}$

所以，$\Gamma$ 的方程為 $y=-x^2+8x-5$。

1. 設 $(h,k)$ 為 $P$ 的坐標。利用 (a) 的結果，可得 $k=-h^2+8h-5 \ \ldots \unicode{x2460}$。

   由於 $L$ 通過 $(5,14)$，利用斜率公式，可得

   $\begin{array}{rcl}
   m_L & = & \dfrac{k-14}{h-5}
   \end{array}$

   由於 $\Gamma$ 於任意點的切線的斜率為 $f'(x)=-2x+8$，在 $P(h,k)$，可得

   $\begin{array}{rcl}
   f'(h) & = & -2h+8
   \end{array}$

   由此，可得

   $\begin{array}{rcl}
   -2h+8 & = & \dfrac{k-14}{h-5} \\
   -2h^2+18h-40 & = & k-14\\
   k & = & -2h^2+18h-26 \ \ldots \unicode{x2461}
   \end{array}$

   把 $\unicode{x2460}$ 代入 $\unicode{x2461}$，可得

   $\begin{array}{rcl}
   -h^2+8h-5 & = & -2h^2+18h-26 \\
   h^2-10h+21 & = & 0 \\
   (h-3)(h-7) & = & 0
   \end{array}$

   $\therefore h=3$ 或 $h=7$。

   留意 $L$ 的斜率為負數。

   把 $h=3$ 代入 $f'(x)=-2x+8$，可得

   $\begin{array}{rcl}
   f'(3) & = & -2(3)+8 \\
   f'(3) & = & 2 \\
   f'(3) & > & 0
   \end{array}$

   把 $h=7$ 代入 $f'(x)=-2x+8$，可得

   $\begin{array}{rcl}
   f'(7) & = & -2(7)+8 \\
   f'(7) & = & -6 \\
   f'(7) & < & 0 \end{array}$

   所以，$P$ 的 $x$ 坐標為 $7$。

   把 $h=7$ 代入 $\unicode{x2460}$，可得

   $\begin{array}{rcl}
   k & = & =-(7)^2+8(7)-5 \\
   k & = & 2
   \end{array}$

   由此，$P$ 的坐標為 $(7,2)$。

2. 2022 以後不在課程之內。

   $\Gamma$ 於 $P$ 的法線的斜率

   $\begin{array}{cl}
   = & -1 \div m_L \\
   = & -1 \div \dfrac{2-14}{7-5} \\
   = & -1 \div (-6) \\
   = & \dfrac{1}{6}
   \end{array}$

   所以，$\Gamma$ 於 $P$ 的法線的方程為

   $\begin{array}{rcll}
   \dfrac{y-2}{x-7} & = & \dfrac{1}{6} \\
   6y-12 & = & x-7 \\
   x-6y+5 & = & 0
   \end{array}$