答案：(a) $-67$ (c) 不正確
- 利用除法算式，可得
$p(x) = (x^2+x+1)(2x^2-37)+cx+c-1$
由於 $p(x)$ 可被 $x-5$ 整除，可得
$\begin{array}{rcl}
p(5) & = & 0 \\
(5^2+5+1)(2(5)^2-37)+c(5)+c-1 & = & 0 \\
403 +6c – 1 & = & 0 \\
c & = & -67
\end{array}$ - 利用 (a) 的結果，可得
$\begin{array}{cl}
& p(x) \\
= & (x^2+x+1)(2x^2-37)-67x-67-1 \\
= & (x^2+x+1)(2x^2-37) -67x-68 \\
= & 2x^4+2x^3-35x^2-37x-37-67x-68 \\
= & 2x^4+2x^3-35x^2-104x -105
\end{array}$考慮 $p(-3)$，可得
$\begin{array}{cl}
& p(-3) \\
= & 2(-3)^4+2(-3)^3-35(-3)^2-104(-3)-105 \\
= & 0
\end{array}$所以根據因式定理，$x+3$ 是 $p(x)$ 的因式。
-
$\begin{array}{rcl}
p(x) & = & 0 \\
2x^4+2x^3-35x^2-104x-105 & = & 0 \\
(x-5)(2x^3+12x^2+25x+21) & = & 0 \\
(x-5)(x+3)(2x^2+6x+7) & = & 0
\end{array}$考慮 $2x^2+6x+7=0$ 的判別式，可得
$\begin{array}{cl}
& \Delta \\
= & 6^2 – 4(2)(7) \\
= & -20 \\
< & 0 \end{array}$所以，方程 $2x^2+6x+7=0$ 沒有實根。
由此，方程 $p(x)=0$ 不是所有根皆是實數。該宣稱不正確。
