2021-I-12

12-06-2023 app.cch 尚無留言

答案：(a)

- 67

(c) 不正確

利用除法算式，可得
$p (x) = (x^{2} + x + 1) (2 x^{2} - 37) + c x + c - 1$

由於 $p (x)$ 可被 $x - 5$ 整除，可得

$\begin{array}{rcl} p (5) & = & 0 \\ (5^{2} + 5 + 1) (2 (5)^{2} - 37) + c (5) + c - 1 & = & 0 \\ 403 + 6 c - 1 & = & 0 \\ c & = & - 67 \end{array}$
利用 (a) 的結果，可得
$\begin{array}{cl} p (x) \\ = & (x^{2} + x + 1) (2 x^{2} - 37) - 67 x - 67 - 1 \\ = & (x^{2} + x + 1) (2 x^{2} - 37) - 67 x - 68 \\ = & 2 x^{4} + 2 x^{3} - 35 x^{2} - 37 x - 37 - 67 x - 68 \\ = & 2 x^{4} + 2 x^{3} - 35 x^{2} - 104 x - 105 \end{array}$

考慮 $p (- 3)$ ，可得

$\begin{array}{cl} p (- 3) \\ = & 2 (- 3)^{4} + 2 (- 3)^{3} - 35 (- 3)^{2} - 104 (- 3) - 105 \\ = & 0 \end{array}$

所以根據因式定理， $x + 3$ 是 $p (x)$ 的因式。
$\begin{array}{rcl} p (x) & = & 0 \\ 2 x^{4} + 2 x^{3} - 35 x^{2} - 104 x - 105 & = & 0 \\ (x - 5) (2 x^{3} + 12 x^{2} + 25 x + 21) & = & 0 \\ (x - 5) (x + 3) (2 x^{2} + 6 x + 7) & = & 0 \end{array}$

考慮 $2 x^{2} + 6 x + 7 = 0$ 的判別式，可得

$\begin{array}{cl} Δ \\ = & 6^{2} - 4 (2) (7) \\ = & - 20 \\ < & 0 \end{array}$

所以，方程 $2 x^{2} + 6 x + 7 = 0$ 沒有實根。

由此，方程 $p (x) = 0$ 不是所有根皆是實數。該宣稱不正確。

2021, 卷一, 香港中學文憑-數學多項式

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