2021-I-14

$\begin{array}{rcl}
\dfrac{1}{3} \pi r^2 (24) & = & 800\pi \\
r^2 & = & 100 \\
r & = & 10
\end{array}$

$\therefore Y$ 的底半徑為 $10\text{ cm}$。

$\begin{array}{cl}
= & \pi (10)^2(20) \\
= & 2000\pi \text{ cm}^3
\end{array}$

$\therefore Z$ 的體積

$\begin{array}{cl}
= & 2000\pi +800\pi \\
= & 2800\pi \text{ cm}^3
\end{array}$

考慮 $Y$ 及 $Z$ 的體積之比，可得

$\begin{array}{rcll}
\dfrac{\text{$Y$ 的體積}}{\text{$Z$ 的體積}} & = & \dfrac{800\pi}{2800\pi} & = & \dfrac{2}{7}
\end{array}$

考慮 $Y$ 及 $Z$ 的底半徑之比，可得

$\begin{array}{rcll}
\left(\dfrac{\text{$Y$ 的底半徑}}{\text{$Z$ 的底半徑}}\right)^3 & = & \left(\dfrac{10}{20} \right)^3 & = & \dfrac{1}{8} \\
\end{array}$

$\begin{array}{rcl}
\because \dfrac{\text{$Y$ 的體積}}{\text{$Z$ 的體積}} & \neq & \left(\dfrac{\text{$Y$ 的底半徑}}{\text{$Z$ 的底半徑}}\right)^3
\end{array}$

$\therefore Y$ 及 $Z$ 並不相似。

$\begin{array}{cl}
= & 2 \pi (10) (20) \\
= & 400\pi\text{ cm}^2
\end{array}$

$Y$ 的斜高

$\begin{array}{cl}
= & \sqrt{10^2 +24^2} \\
= & 26\text{ cm}
\end{array}$

$\therefore Y$ 的曲面面積

$\begin{array}{cl}
= & \pi (10) (26) \\
= & 260\pi\text{ cm}^2
\end{array}$

由此，$X$ 及 $Y$ 的總曲面面積之和

$\begin{array}{cl}
= & 400\pi +260\pi \\
= & 660\pi\text{ cm}^2
\end{array}$

設 $h\text{ cm}$ 為 $Z$ 的高。

$\begin{array}{rcl}
\dfrac{1}{3} \pi (20)^2 h & = & 2800\pi \\
h & = & 21
\end{array}$

$\therefore Z$ 的高為 $21\text{ cm}$。

$Z$ 的斜高

$\begin{array}{cl}
= & \sqrt{20^2 +21^2} \\
= & 29\text{ cm}
\end{array}$

由此，$Z$ 的曲面面積

$\begin{array}{cl}
= & \pi (20)(29) \\
= & 580 \pi \text{ cm}^2
\end{array}$

由於 $X$ 及 $Y$ 的曲面面積之和大於 $Z$ 的曲面面積，

所以同意該宣稱。