2021-I-16

$L_1$ 的方程為

$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{y-6}{x-2}}& =& {\displaystyle \frac{3-6}{0-2}}\\ 2y-12& =& 3x-6\\ 3x-2y+6& =& 0\end{array}$

把 $(0,0)$ 代入 $3x-2y+6=0$ 的左方，可得

$\begin{array}{cl}& 3(0)-2(0)+6\\ =& 6\\ \ge & 0\end{array}$

由於 $(0,0)$ 在 $R$ 內，則其中一個不等式為 $3x-2y+6\ge 0$。

由於 $L_1\perp L_2$，則 $L_2$ 的斜率

$\begin{array}{cl}=& -1÷m_{L_1}\\ =& -1÷{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ =& {\displaystyle \frac{-2}{3}}\end{array}$

由此，$L_2$ 的方程為

$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{y-6}{x-2}}& =& {\displaystyle \frac{-2}{3}}\\ 3y-18& =& -2x+4\\ 2x+3y-22& =& 0\end{array}$

把 $(0,0)$ 代入 $2x+3y-22=0$ 的左方，可得

$\begin{array}{cl}& 2(0)+3(0)-22\\ =& -22\\ \le & 0\end{array}$

由於 $(0,0)$ 在 $R$ 內，則其中一個不等式為 $2x+3y-22\le 0$。

由於 $R$ 在 $x$ 的上方，則其中一個不等式為 $y\ge 0$。

由此，該不等式組為 $\{\begin{array}{l}3x-2y+6\ge 0\\ 2x+3y-22\le 0\\ y\ge 0\end{array}$。

在頂點 $(-2,0)$，

$\begin{array}{cl}& 8(-2)-5(0)\\ =& -16\end{array}$

在頂點 $(2,6)$，

$\begin{array}{cl}& 8(2)-5(6)\\ =& -14\end{array}$

在頂點 $(11,0)$，

$\begin{array}{cl}& 8(11)-5(0)\\ =& 88\end{array}$

$\therefore 8x-5y$ 在 $R$ 內的極小值為 $-16$。