2021-II-08

設 $p(x) = (x^2-1)Q(x) +(ax+b)$，其中 $Q(x)$ 為一多項式，$a$ 及 $b$ 均為常數。

利用餘式定理，可得

$\begin{array}{rcl}
p(-1) & = & -2 \\
[(-1)^2 -1]Q(-1) +a(-1)+b & = & -2 \\
-a+b & = & -2 \ldots \unicode{x2460}
\end{array}$

利用因式定理，可得

$\begin{array}{rcl}
p(1) & = & 0 \\
[(1)^2 -1]Q(1) + a(1) +b & = & 0 \\
a+b & = & 0 \\
a & = & -b
\end{array}$

把 $a=-b$ 代入 $\unicode{x2460}$，可得

$\begin{array}{rcl}
-(-b) +b & = & -2 \\
2b & = & -2 \\
b & = & -1
\end{array}$

所以，$a=1$。

由此，所求的餘式為 $x-1$。