答案：B
I 為正確。設 $r\text{ cm}$ 為扇形 $OAB$ 的半徑。
$\begin{array}{rcl}
\pi r^2 \times \dfrac{90^\circ}{360^\circ} & = & \pi \\
r^2 & = & 4 \\
r & = & 2
\end{array}$
$\therefore$ 扇形 $OAB$ 的半徑為 $2\text{ cm}$。
II 為不正確。扇形 $OAB$ 的周界
$\begin{array}{cl}
= & 2(2) + 2\pi(2) \times \dfrac{90^\circ}{360^\circ} \\
= & (4 + \pi) \text{ cm}
\end{array}$
III 為正確。由於 $\angle AOB =90^\circ$，則 $AB$ 為通過 $O$、$A$ 及 $B$ 的圓形的直徑。
該圓的半徑
$\begin{array}{cl}
= & \dfrac{1}{2} AB \\
= & \dfrac{1}{2} \sqrt{2^2+2^2} \\
= & \dfrac{\sqrt{8}}{2} \text{ cm}
\end{array}$
由此，該圓的面積
$\begin{array}{cl}
= & \pi \left(\dfrac{\sqrt{8}}{2}\right)^2 \\
= & 2\pi\text{ cm}^2
\end{array}$
