對於 $n=1$，
$\begin{array}{cl}
& \text{左方} \\
= & \dsum_{k=1}^1 (3k^5+k^3) \\
= & 3(1)^5+(1)^3 \\
= & 4
\end{array}$
$\begin{array}{cl}
& \text{右方} \\
= & \dfrac{1^3(1+1)^3}{2} \\
= & 4
\end{array}$
$\therefore \text{左方}=\text{右方}$。
$\therefore P(1)$ 為真。
假定對於某些正整數 $m$，$P(m)$ 為真。
即 $\dsum_{k=1}^m (3k^5+k^3)=\dfrac{m^3(m+1)^3}{2}$。
對於 $n=m+1$，
$\begin{array}{cl}
& \text{LS} \\
= & \dsum_{k=1}^{m+1}(3k^5+k^3) \\
= & \dsum_{k=1}^m(3k^5+k^3) + 3(m+1)^5+(m+1)^3 \\
= & \dfrac{m^3(m+1)^3}{2}+3(m+1)^5+(m+1)^3 \\
= & \dfrac{(m+1)^3}{2}[m^3+6(m+1)^2+2] \\
= & \dfrac{(m+1)^3}{2}(m^3+6m^2+12m+6+2) \\
= & \dfrac{(m+1)^3}{2}(m^3+6m^2+12m+8) \\
= & \dfrac{(m+1)^3(m+2)^3}{2} \\
= & \text{RS}
\end{array}$
$\therefore P(m+1)$ 也為真。
所以根據數學歸納法，對於所有正整數 $n$，$P(n)$ 為真。
