2022-I-14

$\begin{array}{rcl}
p(x) & = & (x^2-2x+3)(cx+d) +x +13\\
p(x) & = & cx^3 -2cx^2+3cx +dx^2-2dx +3d +x +13 \\
p(x) & = & cx^3 +(d-2c)x^2 +(3c -2d+1)x +3d +13
\end{array}$

透過比較係數，可得

$\left\{ \begin{array}{ll}
c =2 & \ldots \unicode{x2460} \\
d-2c = a & \ldots \unicode{x2461} \\
3c -2d+1=b & \ldots \unicode{x2462} \\
3d +13 =-20 & \ldots \unicode{x2463}
\end{array}\right.$

從 $\unicode{x2460}$ 及 $\unicode{x2463}$，可得 $c=2$ 及 $d=-11$。從 $\unicode{x2461}$，可得

$\begin{array}{rcl}
a & = & -11 -2(2) \\
a & = & -15
\end{array}$

從 $\unicode{x2462}$，可得

$\begin{array}{rcl}
b & = & 3(2) -2(-11) +1 \\
b & = & 29
\end{array}$

$\begin{array}{rcl}
p(5) & = & 2(5)^3-15(5)^2 +29(5) -20 \\
p(5) & = & 0
\end{array}$

所以利用因式定理，$x-5$ 是 $p(x)$ 的因式。

$\therefore x=5$ 或 $2x^2 -5x +4=0$。

考慮 $2x^2 -5x +4=0$，可得

$\begin{array}{rcl}
x & = & \dfrac{-(-5) \pm\sqrt{(-5)^2 -4(2)(4)}}{2(2)} \\
x & = & \dfrac{5 \pm \sqrt{-7}}{4} \text{，它們均是複數。}
\end{array}$

由於 $5$ 及 $\dfrac{5\pm\sqrt{-7}}{4}$ 均不是無理數，則不同意該宣稱。