答案：(b) $4995$
- 設 $P(n)$ 為該命題。
對於 $n=1$，
$\begin{array}{cl}
& \text{左方} \\
= & \dsum_{k=1}^{2}(-1)^k k^2 \\
= & (-1)^1(1)^2+(-1)^2 (2)^2 \\
= & 3
\end{array}$$\begin{array}{cl}
& \text{右方} \\
= & (1)[2(1)+1] \\
= & 3
\end{array}$$\therefore \text{左方}=\text{右方}$。
所以，$P(1)$ 為真。
假定對於正某整數 $m$，$P(m)$ 為真。
即 $\dsum_{k=1}^{2m}(-1)^k k^2 =m(2m+1)$。
對於 $n=m+1$，
$\begin{array}{cl}
& \text{LS} \\
= & \dsum_{k=1}^{2(m+1)} (-1)^k k^2 \\
= & \dsum_{k=1}^{2m}(-1)^k k^2 +(-1)^{2m+1}(2m+1)^2+(-1)^{2m+2}(2m+2)^2 \\
= & m(2m+1)-(2m+1)^2+(2m+2)^2 \\
= & (2m+1)(m-2m-1)+4(m+1)^2 \\
= & -(m+1)(2m+1)+4(m+1)^2 \\
= & (m+1)(-2m-1+4(m+1)) \\
= & (m+1)(2m+3) \\
= & \text{RS}
\end{array}$所以，$P(m+1)$ 也為真。
$\therefore$ 根據數學歸納法，對於所有正整數 $n$，$P(n)$ 也為真。
-
$\begin{array}{cl}
& \dsum_{k=11}^{100} (-1)^k k^2 \\
= & \dsum_{k=1}^{100}(-1)^k k^2 -\dsum_{k=1}^{10}(-1)^k k^2 \\
= & \dsum_{k=1}^{2(50)}(-1)^k k^2 -\dsum_{k=1}^{2(5)}(-1)^k k^2 \\
= & 50(2\times 50+1) -5(2\times 5+1) \\
= & 4995
\end{array}$
