2022-M2-05

$\begin{array}{cl}
& (a+x)^n \\
= & a^n+C^n_1a^{n-1}x+C^n_2a^{n-2}x^2 +\ldots +x^n \\
= & a^n +a^{n-1}nx+\dfrac{a^{n-2}n(n-1)}{2}x^2 +\ldots+x^n
\end{array}$

由於 $\mu_2=-10$，可得

$\begin{array}{rcl}
\dfrac{a^{n-2}n(n-1)}{2} & = & -10 \\
a^{n-2}n(n-1) & = & -20 \ \ldots \unicode{x2460}
\end{array}$

留意 $n$ 為一個大於 $1$ 的正整數。所以， $n(n-1)$ 必定為正整數。

由於，$a^{n-2}$ 必定為負數。

若 $n$ 為一偶數，則 $n-2$ 也為偶數。對於任何數值 $a$，$a^{n-2}$ 也會是正數。由此，$n$ 必須為奇數。

由於 $a^{n-2}$ 為一負數同 $n-2$ 為一奇數，則 $a$ 必定為負數。

$\begin{array}{cl}
& (bx-1)^n \\
= & (-1+bx)^n \\
= & (-1)^n+C^n_1(-1)^{n-1}(bx)+C^n_2(-1)^{n-2}(bx)^2+\ldots+(bx)^n \\
= & -1+bnx-\dfrac{b^2n(n-1)}{2}x^2+\ldots+b^nx^n \text{ ，$\because n$ 為一奇數。}
\end{array}$

由於 $\lambda_0=\mu_0$，可得

$\begin{array}{rcl}
\lambda_0 & = & \mu_0 \\
-1 & = & a^n \\
a & = & -1
\end{array}$

由於 $\lambda_1 =2\mu_1$，可得

$\begin{array}{rcl}
\lambda_1 & = & 2\mu_1 \\
bn& = & 2a^{n-1}n \\
b & = & 2(-1)^{n-1} \\
b & = & 2 \text{ ，$\because n$ 為一奇數。}
\end{array}$

把 $a=-1$ 代入 $\unicode{x2460}$，可得

$\begin{array}{rcl}
(-1)^{n-2}n(n-1) & = & -20 \\
n(n-1) & = & 20 \text{ ，$\because n$ 為一奇數。} \\
n^2-n-20 & = & 0 \\
(n-5)(n+4) & = & 0
\end{array}$

$\therefore n=5$ 或 $n=-4$ (捨去)。