2023-I-13

$\begin{array}{rcl}
h(x) & = & g(x)(px+q) +(px+q) \\
h(x) & = & (px+q)(g(x) +1) \\
h(x) & = & (px+q)(x^3+5x^2-12x-1+1) \\
h(x) & = & (px+q)(x^3+5x^2-12x) \\
h(x) & = & px^4+(5p+q)x^3+(5q-12p)x^2-12qx
\end{array}$

透過比較 $x^4$ 及 $x^2$ 的係數，可得

$\left\{ \begin{array}{ll}
p=3 & \ldots\unicode{x2460} \\
5q-12p = -16 & \ldots \unicode{x2461}
\end{array}\right.$

把 $\unicode{x2460}$ 代入 $\unicode{x2461}$，可得

$\begin{array}{rcl}
5q-12(3) & = & -16 \\
5q & = & 20 \\
q & = & 4
\end{array}$

所以，商數為 $3x=4$。

$\begin{array}{rcl}
(3x+4)(x^3+5x^2-12x) & = & 0 \\
x(3x+4)(x^2+5x-12) & = & 0
\end{array}$

$\therefore x=0$ 或 $x=\dfrac{-4}{3}$ 或 $x^2+5x-12=0$。

對於 $x^2+5x-12=0$，可得

$\begin{array}{rcl}
x & = & \dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4(1)(-12)}}{2(1)} \\
x & = & \dfrac{-5 \pm \sqrt{73}}{2} \text{，此為無理數。}
\end{array}$

留意只有 $x=0$ 及 $x=\dfrac{-4}{3}$ 為有理數。

所以，方程 $h(x)=0$ 有 $2$ 個有理根。